РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 681 Добавить в вариант

Докажите, что для $a меньше 1, b меньше 1, c меньше 1 , a плюс b плюс c больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ выполняется неравенство

$левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус b правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус c правая круглая скобка меньше или равно дробь: числитель: 125, знаменатель: 216 конец дроби .$

Спрятать решение

Решение.

Так как $a меньше 1,$ $b меньше 1,$ $c меньше 1,$ то $1 минус a больше 0,$ $1 минус b больше 0,$ $1 минус c больше 0.$ Используя известное неравенство о средних, получим

$корень 3 степени из: начало аргумента: левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка \times левая круглая скобка 1 минус b правая круглая скобка \times левая круглая скобка 1 минус c правая круглая скобка конец аргумента меньше или равно дробь: числитель: левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 1 минус b правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 1 минус c правая круглая скобка , знаменатель: 3 конец дроби =1 минус дробь: числитель: a плюс b плюс c, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби$ $корень 3 степени из: начало аргумента: левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка \times левая круглая скобка 1 минус b правая круглая скобка \times левая круглая скобка 1 минус c правая круглая скобка конец аргумента меньше или равно дробь: числитель: левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 1 минус b правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 1 минус c правая круглая скобка , знаменатель: 3 конец дроби =1 минус$
$минус дробь: числитель: a плюс b плюс c, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби$

при условии, что $a плюс b плюс c больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Следовательно, получили

$корень 3 степени из: начало аргумента: левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус b правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус c правая круглая скобка конец аргумента меньше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби .$

Возведем в куб последнее неравенство и получим требуемое неравенство. Таким образом, неравенство доказано.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Баллы	Критерии оценивания
7	Полное обоснованное решение.
6	Обоснованное решение с несущественными недочетами.
5−6	Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений.
4	Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев.
2−3	Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи.
1	Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении.
0	Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Открытая олимпиада вузов Томской области, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Алгебра. Неравенства со средними, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь