РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 819 Добавить в вариант

Олимпиада школьников Физтех, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Неравенства с модулем, Методы алгебры. Преобразования выражений, Методы алгебры. Разложение на множители

Решите неравенство

$4x в степени 4 плюс x в квадрате плюс 4x минус 5x в квадрате \mid x плюс 2\mid плюс 4 больше или равно 0.$

Решение.

Неравенство можно переписать в виде

$4 x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате минус 5 x в квадрате |x плюс 2| больше или равно 0$ или $\mid x плюс 2| в квадрате минус 5 x в квадрате |x плюс 2| плюс 4 x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка больше или равно 0 .$

Чтобы разложить левую часть на множители, отметим, что она представляет собой квадратный трёхчлен относительно $y=|x плюс 2|$ с дискриминантом, равным

$левая круглая скобка 5 x в квадрате правая круглая скобка в квадрате минус 4 умножить на 4 x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка =9 x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка .$

Значит, корни $y_1, 2$ равны $дробь: числитель: 5 x в квадрате \pm 3 x в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ,$ то есть $y_1=x в квадрате$ и $y_2=4 x в квадрате ,$ а неравенство принимает вид

$левая круглая скобка |x плюс 2| минус x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка |x плюс 2| минус 4 x в квадрате правая круглая скобка больше или равно 0 .$

В последнем неравенстве требуется сравнить произведение двух чисел с нулём, поэтому при замене каждого из множителя выражением того же знака мы получим равносильное неравенство. Достаточно отметить, что для неотрицательных чисел A и B знак разности $A минус B$ совпадает со знаком разности квадратов

$A в квадрате минус B в квадрате = левая круглая скобка A минус B правая круглая скобка левая круглая скобка A плюс B правая круглая скобка .$

Отсюда получаем

$левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате минус x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате минус 16 x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка x в квадрате плюс x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 x в квадрате плюс x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 1 минус корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби ; дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка . }$ $левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате минус x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате минус 16 x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x в квадрате плюс x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 x в квадрате плюс x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 1 минус корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби ; дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка . }$ $левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате минус x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате минус 16 x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x в квадрате плюс x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 x в квадрате плюс x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 1 минус корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби ; дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка . }$ $левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате минус x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате минус 16 x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x в квадрате плюс x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 x в квадрате плюс x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 1 минус корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби ; дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка . }$

Ответ: $x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 1 минус корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби ; дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 2 ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

[3 балла] При решении рассмотрением двух случаев: по 3 балла за каждый случай.

При другом способе решения: левая часть неравенства разложена множители — 3 балла.

Аналоги к заданию № 812: 819 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе