Всего: 164 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …
Добавить в вариант
Последовательности an , bn связаны соотношениями 
а) Пусть 
Положим
Докажите, что числа 
образуют геометрическую прогрессию.
б) Докажите, что пределы 
существуют и не зависят от выбора 
в) Лучи 
и 
лежат в первом координатном угле, причем луч образует угол 
с осью абсцисс, а — угол 
с осью ординат. Луч 
является биссектрисой угла между осью абсцисс и лучом 
а mn — биссектрисой угла между осью ординат и 
Вычислите с точностью до 0,01 угол между лучом 
и осью абсцисс.
поэтому
отличается от 
ровно в 4 раза. Тогда 
отличается от 
ровно в 4 раза. Наконец 
и 
поэтому 
и 
уменьшатся вчетверо, значит, их квадраты — в 16 раз, сумма квадратов тоже в 16 раз, корень из нее — в 4 раза. То есть 
поэтому 
а тогда (учитывая 
)
и 
поэтому и последовательность 
образованная перемешиванием этих двух, стремится к нулю. Поэтому 
Аналогично 
с осью абсцисс, а 
с осью ординат. Луч 
и 
значит, эти последовательности удовлетворяют тем же соотношениям, которые использовались в первых пунктах. Поэтому 
с точностью 
а угол равен 
с точностью 
что и требовалось.
Про последовательность 
известно, что 
и если 
то 
а) Докажите, что каждая из дробей, появляющихся при определении членов этой последовательности, несократима.
б) Докажите, что последовательность 
монотонна.
в) Вычислите предел 
и 
делятся на d, то q, а, следовательно, и p, делятся на d. 
так как нетрудно видеть, что 
откуда 
поэтому 
Про последовательность 
известно, что 
и 
а) Докажите, что любое натуральное число представимо в виде суммы различных (возможно, одного) членов этой последовательности.
б) Докажите, что если последовательность qn такова, что всякое натуральное числа представляется в виде суммы некоторых членов последовательности единственным образом, то
в) Найдите все последовательности, для которых имеет место тождество из предыдущего пункта.
представимо каждое натуральное число от 1 до 
Тогда, добавляя число 
мы сможем представить еще числа от 
до 
Поскольку по предположению 
в требуемом виде представляются все числа от 1 до 
причем в силу условия на данный набор чисел qk каждое 
появится ровно один раз, поэтому коэффициент при каждом таком одночлене равен единице. 
Из результатов предыдущих пунктов следует, что 
известно, что 
и 
то 
то 
Так как 
то 
поэтому 
то, поскольку 
то 
при всех 
при всех 
Верно ли, что 
Существует ли арифметическая прогрессия, среди членов которой содержатся все числа 
и 
Поэтому
а 
где 
Ясно, что 
и d — рациональные числа; пусть q — их общий знаменатель. Осталось заметить, что в левой части равенства 
между тем как знаменатель числа, стоящего в его правой части, не больше q, поэтому оно не может стремиться к нулю.
найдутся, поскольку уравнения не пропорциональны. Тогда 
и 
В таком случае 
—
не может быть записано в виде дроби со знаменателем, меньшим чем 
поэтому 
при всех натуральных n, что невозможно.
при всех 
Верно ли, что 
т. е. 
В таком случае 
не может быть записано в виде дроби со знаменателем, меньшим чем 
поэтому 
при всех натуральных n, что невозможно.Последовательность 
начальный член 
которой — натуральное число, задана соотношениями
а) Найдите все периодические последовательности данного вида.
б) Докажите, что всякая последовательность данного вида имеет периодический «хвост», т. е. для нее найдутся такие натуральные числа N и t, что 
для всякого 
то 
поэтому такая последовательность непериодична, но ее хвост 
периодичен. Пусть xk — наименьший член некоторой последовательности, ясно, что число xk нечетно. Если предположить, что 
то 
Последовательность начальный член которой — натуральное число, задана соотношениями
а) Найдите все периодические последовательности данного вида.
б) Докажите, что всякая последовательность данного вида имеет периодический «хвост», т. е. для нее найдутся такие натуральные числа N и t, что для всякого
четно и 
Если же xn четно, то 
Итак, если в последовательности есть число, большее, чем 7, то один из следующих членов последовательности будет меньше него. Поэтому в периодической последовательности наименьший элемент периода не превосходит 7. Попробуем начать последовательности с таких чисел. Составим 
(заодно разобраны числа 2, 4, 8 и последовательности, начинающиеся с них); 
(заодно разобраны числа 5, 6, 10, 12 и последовательности, начинающиеся с них); 
(заодно разобрано число 14).
Назовём расстоянием между числами модуль их разности. Известно, что сумма расстояний от шестнадцати последовательных натуральных чисел до некоторого числа a равна 276, а сумма расстояний от этих же шестнадцати чисел до некоторого числа b равна 748. Найдите все возможные значения a, если известно, что a + b = 62,5.
..., 
то сумма расстояний от него до данных шестнадцати чисел не превосходит 
(сумма расстояний до двух крайних чисел в точности равна 15, сумма расстояний до 
и 
не превосходит 15, сумма расстояний до 
и 
также не превосходит 15 и т. д.). Следовательно, числа a и b лежат вне отрезка 
Тогда сумма расстояний от числа a до каждого из данных последовательных чисел выражается формулой 
Получаем систему уравнений 
Тогда 
слева от отрезка 
Назовём расстоянием между числами модуль их разности. Известно, что сумма расстояний от двенадцати последовательных натуральных чисел до некоторого числа a равна 358, а сумма расстояний от этих же двенадцати чисел до некоторого числа b равна 212. Найдите все возможные значения a, если известно, что a + b = 114,5.
то сумма расстояний от него до данных двенадцати чисел не превосходит 
(сумма расстояний до двух крайних чисел в точности равна 11, сумма расстояний до 
не превосходит 11, сумма расстояний до 
также не превосходит 11 и т. д.). Следовательно, числа a и b лежат вне отрезка 
Тогда сумма расстояний от числа a до каждого из данных последовательных чисел выражается формулой 
Получаем систему уравнений 
Назовём расстоянием между числами модуль их разности. Известно, что сумма расстояний от тринадцати последовательных натуральных чисел до некоторого числа a равна 260, а сумма расстояний от этих же тринадцати чисел до числа a2 равна 1768. Найдите все возможные значения a.
то сумма расстояний от него до данных тринадцати чисел не превосходит 
(сумма расстояний до двух крайних чисел в точности равна 12, сумма расстояний до 
не превосходит 12, сумма расстояний до 
не превосходит половины длины отрезка между числами, т. е. 6). Следовательно, числа a и 
лежат вне отрезка 
Тогда сумма расстояний от числа a до каждого из данных последовательных чисел выражается формулой 
Тогда 
справа от отрезка 
следовательно, оба значения a подходят. 
то оба числа a и 
но тогда между ними не может поместиться ни одно целое число. 
и 
не разобран — баллы не снимаются. 
(сумма расстояний до двух крайних чисел в точности равна 11, сумма расстояний до 
также не превосходит 11 и т. д.). Следовательно, числа a и 
Тогда сумма расстояний от числа a до каждого из данных последовательных чисел выражается формулой 
Получаем систему уравнений 
Тогда 
следовательно, оба значения a подходят. 
и 
—
..., 
Найдите каждый член xn такой последовательности и значения сумм 
— любое, и по индукции 
при 
и 
x0 — любое.
тогда 
и 
Найдите остаток от деления числа 
на 2018.
числа 
и 
нечётны. Заметим, что 
Это число нечётное и простое, поэтому число 
что и 
так как все биномиальные коэффициенты 
делятся на p. Кроме того, по малой теореме Ферма, 
при делении на 
даёт остаток 2 (и, следовательно, остатки от деления 
одинаковы), a 
при делении на 
на 2018.
для которых число 
четно? (Здесь через [x] обозначено наибольшее целое число, не превосходящее x.)
имеем 
при чётных 
при нечётных n. Тогда 
а при нечётных — просто 
Кроме того, имеем 
при всех натуральных n. Так как 
то 
и полу чаем такую последовательность чётности для 
неч, неч, чёт, неч, неч, чёт, ... 
связано с 
так:
то для номеров n вида 6k, 
чётно. Поскольку 
среди чисел 
искомых 
для которых число 
четно? (Здесь через [x] обозначено наибольшее целое число, не превосходящее x.)
при 
Докажите, что найдутся такие положительные числа 
что 
при всех 
Монотонность этой последовательности очевидна. Далее, 
так как 
содержится в множестве по которому берется максимум, и при этом 
для некоторого j 
значит, по условию, 