Последовательность 
начальный член 
которой — натуральное число, задана соотношениями
а) Найдите все периодические последовательности данного вида.
б) Докажите, что всякая последовательность данного вида имеет периодический «хвост», т. е. для нее найдутся такие натуральные числа N и t, что 
для всякого 
а) Найдите все периодические последовательности данного вида.
Отметим, что если xn нечетно, то 
четно и
при 
Если же xn четно, то 
Итак, если в последовательности есть число, большее, чем 7, то один из следующих членов последовательности будет меньше него. Поэтому в периодической последовательности наименьший элемент периода не превосходит 7. Попробуем начать последовательности с таких чисел. Составим 
(заодно разобраны числа 2, 4, 8 и последовательности, начинающиеся с них); 
(заодно разобраны числа 5, 6, 10, 12 и последовательности, начинающиеся с них); 
(заодно разобрано число 14).
Итак, периодические последовательности могут начинаться только с чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14.
б) Докажите, что всякая последовательность данного вида имеет периодический «хвост», т. е. для нее найдутся такие натуральные числа N и t, что для всякого
Из доказанного выше следует, что для любого члена последовательности, который больше семи, найдется член последовательности, меньший данного. Значит, в любой последовательности можно найти член, не превосходящий 7. Начиная с него последовательность окажется периодична.
Ответ: а) одиннадцать последовательностей с начальными членами из множества 