РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1745 Добавить в вариант

Даны положительные числа x₁, x₂, ..., x_n, такие что $x_i меньше или равно 2x_j$ при $1 меньше или равно i меньше j меньше или равно n.$ Докажите, что найдутся такие положительные числа $y_1 меньше или равно y_2 меньше или равно . . . меньше или равно y_n,$ что $x_k меньше или равно y_k меньше или равно 2x_k$ при всех $k = 1, 2, \ldots , n.$

(П. Затицкий, Ф. Петров)

Спрятать решение

Решение.

Докажем, что нам подойдет последовательность, заданная формулой $y_k=\max левая фигурная скобка x_1, x_2, \ldots, x_k правая фигурная скобка .$ Монотонность этой последовательности очевидна. Далее, $y_k больше или равно x_k,$ так как $x_k$ содержится в множестве по которому берется максимум, и при этом $y_k=x_j$ для некоторого j $левая круглая скобка 1 меньше или равно j меньше или равно k правая круглая скобка ,$ значит, по условию, $y_k меньше или равно 2 x_k .$

Санкт-Петербургская олимпиада школьников, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Анализ. Последовательности

Спрятать решение · Помощь