сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 29 № 998
i

Про по­сле­до­ва­тель­ность  левая фи­гур­ная скоб­ка x_n пра­вая фи­гур­ная скоб­ка из­вест­но, что x_1=1 и если x_n= дробь: чис­ли­тель: p, зна­ме­на­тель: q конец дроби , то x_n плюс 1= дробь: чис­ли­тель: p плюс 2q, зна­ме­на­тель: p плюс q конец дроби .

 

а)  До­ка­жи­те, что каж­дая из дро­бей, по­яв­ля­ю­щих­ся при опре­де­ле­нии чле­нов этой по­сле­до­ва­тель­но­сти, не­со­кра­ти­ма.

б)  До­ка­жи­те, что по­сле­до­ва­тель­ность a_n=|x в квад­ра­те _n минус 2| мо­но­тон­на.

в)  Вы­чис­ли­те пре­дел \lim\limits_n\to бес­ко­неч­ность x_n.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Если и p плюс 2q, и p плюс q де­лят­ся на d, то q, а, сле­до­ва­тель­но, и p, де­лят­ся на d.

б) Имеем

 \eqalign |x_n плюс 1 в квад­ра­те минус 2|= дробь: чис­ли­тель: | левая круг­лая скоб­ка p плюс 2q пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 2 левая круг­лая скоб­ка p плюс q пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те |, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка p плюс q пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2q в квад­ра­те минус p в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка p плюс q пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: q в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка p плюс q пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби |x_n в квад­ра­те минус 2| мень­ше |x_n в квад­ра­те минус 2|.

в) За­ме­стим, что \lim\limits_n\to бес­ко­неч­ность x_n= ко­рень из 2 , так как не­труд­но ви­деть, что x_n= дробь: чис­ли­тель: p, зна­ме­на­тель: q конец дроби \geqslant1, от­ку­да |x_n плюс 1 в квад­ра­те минус 2| мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби |x_n в квад­ра­те минус 2|, по­это­му \lim\limits_n\to бес­ко­неч­ность x_n в квад­ра­те =2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

Мак­си­мум за сюжет 12 бал­лов. При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.