РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 29 № 1110 Добавить в вариант

Последовательность $левая фигурная скобка x_n правая фигурная скобка ,$ начальный член $x_0$ которой  — натуральное число, задана соотношениями

$x_n плюс 1 = система выражений дробь: числитель: x_n, знаменатель: 2 конец дроби , если число x_n четно; x_n плюс 9, если оно нечетно. конец системы .$

а)  Найдите все периодические последовательности данного вида.

б)  Докажите, что всякая последовательность данного вида имеет периодический «хвост», т. е. для нее найдутся такие натуральные числа N и t, что $x_n плюс t=x_n$ для всякого $n больше или равно N.$

Спрятать решение

Решение.

а)-б) То, что эти числа порождают периодические последовательности, проверяется непосредственно. Если $x_0 принадлежит левая фигурная скобка 11, 13, 15, 17 правая фигурная скобка ,$ то $x_2 принадлежит X_0,$ поэтому такая последовательность непериодична, но ее хвост $левая фигурная скобка x_n правая фигурная скобка _n=2 в степени б есконечность$ периодичен. Пусть x_k  — наименьший член некоторой последовательности, ясно, что число x_k нечетно. Если предположить, что $x_k больше 9,$ то

$x_k плюс 2= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка x_k плюс 9 правая круглая скобка меньше x_k.$

Поэтому во всякой последовательности найдется член из множества $X_0.$

Ответ: четырнадцать последовательностей с начальными членами из множества $X_0= левая фигурная скобка 1, 2, \ldots, 9, 10, 12, \ldots, 18 правая фигурная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Классификатор: Анализ. Последовательности

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь