Всего: 164 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 | 121–140 …
Добавить в вариант
В последовательности чисел 20, 21, 22, … некоторые члены умножили на −1, причем известно, что осталось бесконечно много положительных членов. Докажите что любое натуральное число представимо в виде суммы нескольких различных членов полученной последовательности.
и ПУУЗ A. Если n четное — представим 
в виде суммы нескольких различных членов сокращения A, этому представлению соответствует представление n в виде суммы различных членов A. Если n нечетное — вычтем из него первый член A, (который равен 1 или −1) и результат поделим пополам. Мы получили одно из чисел 
оно натуральное и строго меньше n, значит, для него уже доказано, что оно представляется в виде суммы различных членов произвольной ПУУЗ, в частности — сокращения A. Снова строим соответствующее представление n в виде суммы различных членов A. Что требовалось доказать.
имеет длину 4 а не 3. Так же как всегда будем считать, что сумма пустого множества слагаемых равна нулю.
утверждение верно, поскольку представим только 0, одно целое число это отрезок длины 
Переход. Пусть утверждение доказано для некоторого k, то есть числа, представимые в виду суммы различных членов последовательности a0, 
Рассмотрим все числа, представимые как суммы различных членов, выбранных из 
или включает, и тогда представляет какое-то число из 
Вспомним что 
и посмотрим, чему равно объединение двух вышеозначенных отрезков в обоих случаях. Заметим, что оно — всегда отрезок (два отрезка легли в точности в стык), и его длина всегда 
Переход доказан.
Найти: 
откуда 
и 
Находим разность: 
Докажите, что 
для всех n = 1, 2, 3, ... .
в виде 
Квадратичная функция 
положительна при 
поэтому из положительности 
следует 
при всех 
в частности, и при 
Это доказывает утверждение задачи в случае 
равно 
при 
поэтому 
при всех 
Это доказывает, в частности, утверждение задачи для 
Пусть утверждение задачи выполнено для 
На интервале 
возрастает, следовательно, 
1 балл. Доказано неравенство 
2 балла. Сделан шаг индукции: 4 балла.
такова, что, 
для всех натуральных n. Найти 
получим 
подставляем 
получим 
подставляем 
получим 
после чего разумно предполагаем, что 
то, действительно, 
такова, что, 
Найти a4.
за x и найдём несколько первых членов последовательности: 
что, как мы увидим, будет выполнено. Следовательно, она периодична с периодом 5. В таком случае 
снимаем 1 балл.
такова, что 
и 
для всех n = 2, 3, ... . Найти формулу «общего члена последовательности», то есть формулу, явно выражающую
и сделаем предположение о том, что 
Также вычислим суммы первых членов этой последовательности: 
Докажем сделанные предположения методом математической индукции. 
следующим образом: пусть x1 — произвольное положительное число, меньшее 1, и 
для всех n = 1, 2, 3, ..., 99. Докажите, что 
Для этого воспользуемся индукцией по 
База индукции 
по условию. Шаг индукции: при 
выполнены неравенства 
поэтому 
и 
то есть 
Ввиду доказанного, 
для 
поэтому 
что и требовалось доказать.
3 балла.
(при 
Найдите a2019.
Докажем её. 
получим 
удовлетворяет условию 
тогда 
откуда находим 
тогда 
откуда находим 
Например, 
и 
Но тогда для всех 
будет справедливо равенство 
и 
тогда 
и всех 
Покажем, что равенство 
справедливо при любом 
Действительно, пусть равенство верно при всех 
Покажем, что равенство верно при 
Положим в исходном условии 
и 
Докажите, что существуют такие последовательности натуральных чисел an и bn, что одновременно выполнены следующие условия:
— последовательности an и bn являются неубывающими;
— последовательности 
и 
неограниченно возрастают;
— последовательность
ограничена.
Ясно, что все суммы 
Последовательно разобьём натуральный ряд на отрезки подряд идущих чисел так, что если отрезок начинается с числа k, то его длина равна ck. После этого раскрасим все эти отрезки поочередно в красный и синий цвета. Теперь зададим последовательность an следующим образом: 
Ученики 10a вычисляли средние арифметические
членов числовой последовательности 
Найти вероятность того, что при вычислении x14, x15 и x16 будет хотя бы два правильных результата.
Вероятность того, что все вычисления проделаны без ошибок равна 
Поэтому единице может быть равна только p16. Это означает, что 
Блоха Кузя может совершать прыжки из каждой вершины правильного тетраэдра ABCD в три соседние вершины, причем выбор этих вершин случайный и равновозможный. Прыгать Кузя начала из вершины A и, совершив 2020 прыжков, опять оказалась в той же вершине. С какой вероятностью это могло произойти?
так как из каждой такой точки есть три равновозможных пути, только один из которых приводит в A. Пусть pk — вероятность того, что на k — ом шаге блоха находится в точке A. Соответственно не в точке A она находится с вероятностью 
Тогда на следующем шаге она окажется в A с вероятностью 
а далее получим 
докажем методом математической индукции. 
—
то есть 
Видим, что pn представляет собой сумму членов геометрической прогрессии со знаменателем 
Следовательно, 
принимает наибольшее возможное значение?
Получаем квадратное неравенство
то неравенство справедливо при 
Возвращаясь к старым переменным, получаем неравенство 
Перепишем его в виде 
и 
и выбрать, при каком из этих значений an наибольшее. Имеем 
Арифметическая прогрессия {an} с ненулевой разностью такова, что последовательность 
также арифметическая прогрессия с ненулевой разностью. Найти возможные значения первого члена и разности прогрессии {an}, если для всех n справедливо равенство 
следует, что при всех 
и 
В самом деле, если величина d больше ближайшего числа кратного 
к числу an, то один из последующих членов последовательности, располагаясь на единичной окружности против часовой стрелки от an и смещаясь от него на постоянное значение вдоль дуги, выйдет за участок дуги 
Аналогично, если величина d меньше ближайшего числа кратного 2π к числу an, то один из последующих членов последовательности, располагаясь на единичной окружности почасовой стрелки от an и смещаясь от него на постоянное значение вдоль дуги, также выйдет за участок дуги 
Таким образом, 
При этом 
так как по условию задачи 
В альфацентаврианском алфавите S звонких букв, H глухих и N нейтральных. Словом называется последовательность различных букв такая, что в ней
а) первая и последняя буквы имеют разную звонкость (т. е. не являются обе звонкими, обе глухими или обе нейтральными);
б) есть хотя бы одна звонкая буква.
Стихотворением называется последовательность различных слов такая, что каждое последующее слово начинается с той буквы, на которую закончилось предыдущее слово. Сколько слов в самом длинном стихотворении, состоящем только из двухбуквенных слов, если S = 6, H = 3, N = 5?
где H — любая из глухих букв, S — любая из звонких букв. Всего слов указанных видов: 18, 18, 30, 30, соответственно. То есть в двухбуквенном стихотворении не может быть более 96 слов. Теперь покажем, что эта оценка достигается.
вершины второй — звонким 
вершины третьей — нейтральным 
таким образом, ориентированные ребра графа — двухбуквенные слова. 
слов (осталось неиспользованным только слово S6H1, но оно нам потребуется для «замыкания цикла»). Теперь, аналогично, начиная с буквы 
на которой мы сейчас остановились, перечислим слова третьего и четвертого типов: 
Постройте машину Тьюринга, которая превращает последовательности вида 010101…01 (чередующихся нулей и единиц, начинающихся с 0 и заканчивающихся 1) в последовательность 101010...10 (чередующихся нулей и единиц, начинающихся с 1 и заканчивающихся 0), а все остальные последовательности не меняет. Приведен пример машины Тьюринга, которая в любой последовательности меняет 1 на 0, а 0 на 1.
инвертирование;
элементов последовательности; 
фиксация нарушения нужного;
чередования состоянием q2;
движение обратно;
с повторным инвертированием;
остановка выполнения;
для разных случаев;
не обязательно на начальном символе.Вдоль длинной улицы расположены дома, в каждом из которых живёт по одному человеку. Каждый из жителей улицы является сторонником одной из двух политических партий: 1 или 2. Каждый день каждый человек общается со всеми своими соседями (с одним соседом, если человек живёт в на краю улицы и с обоими соседями в остальных случаях). За ночь он обдумывает полученную от них информацию, и если оказывается, что двое его соседей являются сторонниками противоположной политической партии, к утру человек меняет свои взгляды.
На ленте записана произвольная последовательность единиц и двоек, соответствующая политическим взглядам жителей улицы в какой-то из дней. Постройте машину Тьюринга, которая преобразует эту строку в строку, соответствующую политическим взглядам жителей улицы на следующий день.
Вдоль длинной улицы расположены дома (хотя бы два), в каждом из которых живёт по одному человеку. Каждый из жителей улицы является сторонником одной из двух политических партий: 1 или 2. Каждый день каждый человек общается со всеми своими соседями (с одним соседом, если человек живёт в на краю улицы и с обоими соседями в остальных случаях). За ночь он обдумывает полученную от них информацию, и если оказывается, что двое его соседей являются сторонниками противоположной политической партии, к утру человек меняет свои взгляды.
На вход подаётся произвольная последовательность единиц и двоек, соответствующая политическим взглядам жителей улицы в какой-то из дней. Постройте схему, которая преобразует которая преобразует эту строку в строку, соответствующую политическим взглядам жителей улицы на следующий день.
Данная схема состоит из вершин (называемых состояниями) и стрелок. Каждая стрелка соединяет два состояния и символизирует переход схемы из первого состояния во второе..
Схема начинает работу в начальном состоянии S0. Поступающее на вход слово анализируется посимвольно. При анализе каждого символа схема переходит из текущего состояния по стрелке, над которой написан этот символ. При этом символ, написанный над стрелкой через запятую, подаётся на выход.