Последовательность положительных действительных чисел an, n = 1, 2, 3, ... такова, что 
Докажите, что 
для всех n = 1, 2, 3, ... .
Запишем неравенство 
в виде 
Квадратичная функция 
положительна при 
поэтому из положительности 
следует 
при всех 
в частности, и при 
Это доказывает утверждение задачи в случае
Максимальное значение функции на интервале 
равно 
при 
поэтому 
при всех 
Это доказывает, в частности, утверждение задачи для 
Далее воспользуемся методом математической индукции, в качестве базы индукции используем уже доказанные случаи 
Пусть утверждение задачи выполнено для 
На интервале
функция монотонно 
возрастает, следовательно,
что доказывает справедливость шага индукции.
1 балл. Доказано неравенство 
2 балла. Сделан шаг индукции: 4 балла.