Рас­смот­рим не­ко­то­рый про­ме­жу­точ­ный шаг в дви­же­нии Кузи. Если она на этом шаге на­хо­дит­ся в точке A, то ве­ро­ят­ность по­пасть в A на сле­ду­ю­щем шаге равна нулю. Если же она на­хо­дит­ся в любой из остав­ших­ся точек, B, C или D,то ве­ро­ят­ность по­пасть в A на сле­ду­ю­щем шаге равна так как из каж­дой такой точки есть три рав­но­воз­мож­ных пути, толь­ко один из ко­то­рых при­во­дит в A. Пусть p_k  — ве­ро­ят­ность того, что на k  — ом шаге блоха на­хо­дит­ся в точке A. Со­от­вет­ствен­но не в точке A она на­хо­дит­ся с ве­ро­ят­но­стью Тогда на сле­ду­ю­щем шаге она ока­жет­ся в A с ве­ро­ят­но­стью

Таким об­ра­зом, а далее по­лу­чим

Фор­му­лу для p_n при до­ка­жем ме­то­дом ма­те­ма­ти­че­ской ин­дук­ции.

База ин­дук­ции:   — верно.

Шаг ин­дук­ции: пусть фор­му­ла верна для то есть

Тогда

то есть фор­му­ла верна и для А зна­чит, верна и при любых Видим, что p_n пред­став­ля­ет собой сумму чле­нов гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии со зна­ме­на­те­лем Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: