Всего: 164 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 …
Добавить в вариант
при 
—
(это возможно, т. к. 
Число 
при 
и 
Используем индукцию по k. База при 
очевидна. Переход: 
последний НОД равен 1 и 
как и требовалось. При 
этот НОД равен 
и 
ровно в два раза превосходит свой номер, что противоречит предположению.
Разумеется, гениальных догадок для решения не требуется — достаточно исследовать последовательность, сделав несколько шагов после 
зависит от того, делится ли 
на 2. Если делится, то 
—
Смотрим дальше: 
на 3? Что ж, Вы правы! Сделав еще пару ходов, мы получим вопросы, делятся ли 
на 4, 
на 5 и так далее. Но гораздо приятнее иметь дело с делимостью одного и того же числа, чем кучи разных! Наши делимости легко переформулировать: делится ли 
на 3, на 4, на 5 и так далее. Первый ответ «да» встретится при делимости на минимальный простой делитель числа 
Осталось строго доказать полученную закономерность по индукции, что и сделано в решении.
утверждение задачи неверно: если 
то 
а затем 
и т. д., 
при всех 
В этой последовательности лишь первые два члена равны своим удвоенным номерам.
и 
при 
делится на 
при 
в k-й степени. Докажем, что 
делится на 
Тогда утверждение задачи будет выполнено.
—
Если 
то 
и 
Следовательно, 
будет 
и выведенное сравнение тоже выполнено. Итак, 
а дальше в последовательности чередуются остатки −1 и 0 от деления на p: 
делится на 
и т. д. Отсюда следует, что если 
то 
делится на 
Кроме того, учтем, что числа 
и остатки по модулю 2 чередуются. Следовательно, 
Остается заметить, что 
при 
(это значит, что 
так как делится на 
(это значит, что 
откуда следует требуемое.На тепловой электростанции запас газа всегда остается положительным и ежемесячно меняется следующим образом. Если в текущем месяце запас равен x м3, то в следующем месяце он будет равен 
м3.
— запас спустя n месяцев после некоторого фиксированного. Тогда 
будут циклически повторяться, последовагельность 
и 
может быть отрицательным, это значит, что запаса нет, а есть не достаток величины 
с отрицательным дискриминантом. Теперь рассмотрим условие положительности запаса. Из неравенств 
и 
получаем, что 
Однако в указанном диапазоне 
Про последовательность {an} известно, что a1 = 1,5 и 
при 
Существуют ли такие значения n, что сумма первых n членов этой последовательности отличается от 2,25 меньше, чем на 0,01? Если да, то найдите наименьшее из них.
Тогда поскольку 
убывает и 
Про последовательность {an} известно, что a1 = 1,25 и 
при Существуют ли такие значения n, что сумма первых n членов этой последовательности отличается от 2,75 меньше, чем на 0,01? Если да, то найдите наименьшее из них.
При обработке числовых данных часто приходится вычислять среднее арифметическое
и решать уравнения, содержащие среднее арифметическое. Найдите все конечные (состоящие из конечного числа элементов) числовые множества X такие, что для любых a и b из X множество X содержит корень x уравнения 
(без ограничения общности). Для уравнения 
находим, согласно (1), 
Затем для уравнения 
получаем 
после чего рассматриваем уравнение 
и получаем 
Продолжая таким же образом, получаем последовательность решений 
при 
то, преобразуя равенство, получим 
это невозможно. Итак, множество X содержит бесконечное подмножество-последовательность (3), следовательно, множество X бесконечно.
мы получим 
мы получаем соотношение 
и 
все числа 
целые.
Тогда 
Найдите x2018.
то есть последовательность периодична с периодом 6. Поскольку 
получаем 
что 
образуют непостоянную арифметическую прогрессию для каких-то 
Будем считать, что 
так как если выкинуть из набора 
противоречие.
Следовательно, 
Однако 
2.3 Из последовательности ck выделили четыре различных числа, образующих арифметическую прогрессию. Приведите пример того, как такое могло быть.
Развернуть
то это означает −ki чисел, равных −i (именно поэтому мы взяли нечётные степени). Чтобы подобрать 
а значит, можно и целые.2.4 Из последовательности ck выделили сто различных чисел, образующих арифметическую прогрессию. Докажите, что её разность больше 1030.
Развернуть
—
где d — разность арифметической прогрессии. При этом 
делится на 
для какого-то простого p, тогда, по теореме Ферма, 
Если при этом 
то 
Давайте для каждого 
найдём подходящие i, j. Если рассмотреть первые p индексов 
и 
Значит, d делится на произведение всех простых до 100, а оно что-то около 1033.а) Имеют ли общие члены две последовательности 3; 16; 29; 42;...
б) Имеют ли общие члены две последовательности 5; 16; 27; 38;...
в) Определите, какое наибольшее количество общих членов может быть у двух арифметических прогрессий 1;...; 10
вторая последовательность 
или 
где 
вторая последовательность 
или 
Это уравнение не имеет решений в целых числах, значит, общих членов у последовательностей нет.
тогда d1 может 
тогда d2 может 
для второй прогрессии все d, которые делятся на 3 не подходят, так как члены второй прогрессии будут делиться на три, а первой нет. Возьмем для второй прогрессии 
Заметим, что каждый третий член этой прогрессии совпадает с членами первой прогрессии. 
членов, из них 
совпадают с членами первой прогрессии. 
при всех n, где s(a) означает сумму цифр натурального числа а. Найдите a100.
а 
(последнее неравенство легко доказать по индукции). Начальное число 
меньше, чем 101024, так как 
Значит, 
и, очевидно, 
Осталось найти остаток от деления 22015 на 9. Поскольку 23 имеет вид 
(то есть имеет остаток 8 при делении на 9
то и 
тоже имеет такой вид (как произведение нечетного числа сомножителей вида 
а 
Докажите, что an принимает целые значения для бесконечного множества номеров n.
перепишем в виде 
будем иметь 
делится на 9 для бесконечного множества номеров n. 
дает остаток 1 при делении на 9 (так как 
имеет вид 
и любые степени 26k будут иметь такой вид). Итак, члены последовательности a7, a13, 
Найдите 
где 
Легко заметить и доказать, что четность числа 
повторяется с периодом 4: действительно, 
для любого натурального k. Оказалось, что
для некоторых натуральных m и n
Найдите m + n.
Над строкой из четырех чисел a, b, c, d проделаем следующую операцию: между каждыми двумя соседними числами впишем число, которое получится в результате вычитания левого числа из правого. Над новой строкой проделаем ту же операцию и т. д. Найдите сумму чисел строки, которая получится после m таких операций.
—
Сумма чисел новой строки равна 
и 
В итоге получаем 
Для действительного числа 
рассмотрим возрастающую последовательность всех натуральных чисел mi, для которых 
Может ли для какого-то α соответствующая последовательность начинаться с
а) 2021, 4041, 6062?
б) 2021, 4042, 6062, 8082?
База: для удобства будем считать 0 натуральным числом, и все последовательности тоже начинать с нулевого члена. Тогда, во-первых, 
поскольку 
и 0 — первое натуральное число с таким свойством, поскольку оно просто первое. С другой стороны, 
поскольку 
и опять же, 0 — первое натуральное число с этим свойством. Итак, 
Тогда для всех натуральных чисел k из отрезка 
имеем 
из определения 
Но тогда 
С другой стороны, 
Итак, 
такого что 
лежит в полуинтервале 
(как сделано выше), достаточно указать одно, например, 
и доказать, что оно подходит. 
что доказывает что такого 
— 2 и 3 балла соответственно.