Для действительного числа 
рассмотрим возрастающую последовательность всех натуральных чисел mi, для которых 
Может ли для какого-то α соответствующая последовательность начинаться с
а) 2021, 4041, 6062?
б) 2021, 4042, 6062, 8082?
Немного рассуждений, избыточных для решения этой задачи Покажем индукцией по i, что mi — это наименьшее натуральное число ni, для которого 
База: для удобства будем считать 0 натуральным числом, и все последовательности тоже начинать с нулевого члена. Тогда, во-первых, 
поскольку 
и 0 — первое натуральное число с таким свойством, поскольку оно просто первое. С другой стороны, 
поскольку 
и опять же, 0 — первое натуральное число с этим свойством. Итак, 
Переход. Пусть 
Тогда для всех натуральных чисел k из отрезка 
имеем 
из определения 
Но тогда 
С другой стороны,
то есть 
Итак, 
Пункт а). Из приведенных выше рассуждений следует система неравенств (самая левая)
Преобразуем как написано выше, благо все числа положительны. Имеем, что условие выполняется для любого 
такого что 
лежит в полуинтервале 
Отметим, что для решения задачи не обязательно описывать множество всех таких 
(как сделано выше), достаточно указать одно, например, 
и доказать, что оно подходит.
Пункт б). Действуя аналогично, имеем:
Приходим к противоречию, что 
что доказывает что такого не существует.
Ответ: а) да; б) нет.
— 2 и 3 балла соответственно.