РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 3939 Добавить в вариант

Последовательность a_n задается следующим образом: $a_n плюс 2=3 a_n плюс 1 минус 2 a_n,$ $a _1=1,$ $a _2= дробь: числитель: 10, знаменатель: 9 конец дроби .$ Докажите, что a_n принимает целые значения для бесконечного множества номеров n.

Спрятать решение

Решение.

Выражение для $a_n плюс 2$ перепишем в виде

$a_n плюс 2 минус a_n плюс 1=2 левая круглая скобка a_n плюс 1 минус a_n правая круглая скобка .$

Поэтому для $n больше или равно 1$ будем иметь

$a_n плюс 2 минус a_n плюс 1=2 левая круглая скобка a_n плюс 1 минус a_n правая круглая скобка =4 левая круглая скобка a_n минус a_n минус 1 правая круглая скобка =\ldots=2 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка левая круглая скобка a_2 минус a_1 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби умножить на 2 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка .$ $a_n плюс 2 минус a_n плюс 1=2 левая круглая скобка a_n плюс 1 минус a_n правая круглая скобка =4 левая круглая скобка a_n минус a_n минус 1 правая круглая скобка =$
$=\ldots=2 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка левая круглая скобка a_2 минус a_1 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби умножить на 2 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка .$

Тогда

$a_n плюс 2=a_1 плюс левая круглая скобка a_2 минус a_1 правая круглая скобка плюс \ldots плюс левая круглая скобка a_n плюс 2 минус a_n плюс 1 правая круглая скобка =1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби левая круглая скобка 1 плюс 2 плюс \ldots плюс 2 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка правая круглая скобка =1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка .$ $a_n плюс 2=a_1 плюс левая круглая скобка a_2 минус a_1 правая круглая скобка плюс \ldots плюс левая круглая скобка a_n плюс 2 минус a_n плюс 1 правая круглая скобка =$
$=1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби левая круглая скобка 1 плюс 2 плюс \ldots плюс 2 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка правая круглая скобка =1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка .$

Осталось показать, что $2 в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка минус 1$ делится на 9 для бесконечного множества номеров n.

Действительно, если $n плюс 1$ делится на 6, то $2 в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка$ дает остаток 1 при делении на 9 (так как $2 в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка =64$ имеет вид $9 m плюс 1$ и любые степени 2^6k будут иметь такой вид). Итак, члены последовательности a₇, a₁₃, a₁₉, ..., (каждый шестой) будут целыми числами.

Олимпиада Будущие исследователи  — будущее науки, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Анализ. Последовательности

Спрятать решение · Помощь