Ос­нов­ной ис­поль­зу­е­мый факт  — это то, что сумма цифр лю­бо­го числа имеет тот же оста­ток при де­ле­нии на 9, что и само число. Этот факт до­ка­зы­ва­ет­ся точно так же, как из­вест­ный при­знак де­ле­ния на 9. По­ка­жем, что по­сле­до­ва­тель­ность a_n быст­ро убы­ва­ет, пока не ста­нет мень­ше 10, и после этого она, оче­вид­но, ста­но­вит­ся по­сто­ян­ной. Дей­стви­тель­но, если число n-знач­ное, то а

при (по­след­нее не­ра­вен­ство легко до­ка­зать по ин­дук­ции). На­чаль­ное число мень­ше, чем 10¹⁰²⁴, так как Зна­чит,

то есть a₉ имеет не более трех цифр. По­это­му и, оче­вид­но, Оста­лось найти оста­ток от де­ле­ния 2²⁰¹⁵ на 9. По­сколь­ку 2³ имеет вид (то есть имеет оста­ток 8 при де­ле­нии на 9 то и тоже имеет такой вид (как про­из­ве­де­ние не­чет­но­го числа со­мно­жи­те­лей вида а

где

Ответ: 5.