РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5236 Добавить в вариант

Последовательность чисел a_n, $n=1, 2, \ldots$ такова, что, $a_1=1,$ $a_n плюс 1=a_n плюс корень из: начало аргумента: a_n конец аргумента плюс a_n плюс 1$ для всех натуральных n. Найти $a_n,$ $n=1, 2, \ldots$

Спрятать решение

Решение.

Выразим явно $a_n плюс 1$ через a_n, найдём несколько первых значений a_n, догадаемся до общей формулы и докажем её по индукции.

Итак,

$a_n плюс 1 минус a_n= корень из: начало аргумента: a_n конец аргумента плюс a_n плюс 1,$

обе части больше 0, возводим в квадрат, получаем:

$a_n плюс 1 в квадрате минус левая круглая скобка 2 a_n плюс 1 правая круглая скобка a_n плюс 1 плюс a_n в квадрате минус a_n=0.$

Следовательно, $a_n плюс 1$ является одним из корней квадратного уравнения

$x в квадрате минус левая круглая скобка 2 a_n плюс 1 правая круглая скобка x плюс a_n в квадрате минус a_n=0.$

Находим эти корни:

$x_1,2= дробь: числитель: 2 a_n плюс 1 \pm корень из: начало аргумента: 8 a_n конец аргумента плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$

ввиду равенства

$a_n плюс 1=a_n плюс корень из: начало аргумента: a_n конец аргумента плюс a_n плюс 1 больше a_n,$

выбрать нужно тот, который с плюсом,

$a_n плюс 1= дробь: числитель: 2 a_n плюс 1 плюс корень из: начало аргумента: 8 a_n конец аргумента плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Подставляем $n=1,$ получим $a_2=3=1 плюс 2,$ подставляем $n=2,$ получим $a_3=6=3 плюс 3,$ подставляем $n=3,$ получим $a_4=10=6 плюс 4,$ после чего разумно предполагаем, что

$a_n=1 плюс 2 плюс \ldots плюс n= дробь: числитель: n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби .$

Осталось доказать это равенство по индукции. База индукции только что проверена. Шаг индукции: если $a_n= дробь: числитель: n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби ,$ то, действительно,

$a_n плюс 1= дробь: числитель: n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка плюс 1 плюс корень из: начало аргумента: 4 n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка плюс 1 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка плюс 1 плюс 2 n плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби ,$

что и требовалось доказать.

Ответ: $a_n= дробь: числитель: n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Формула указана, но не доказана по индукции: 1 балл.

Всесибирская олимпиада школьников, 9 класс, 3 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Алгебра. Рекуррентные соотношения, Анализ. Последовательности, Методы алгебры. Метод математической индукции

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь