Спрятать решениеРешение. а) Нетрудно проверить, что заданное соотношение верно для последовательностей и Поэтому
б) Легко понять, что найдутся такие a и b, при которых а
Ответ: Нет, неверно.
в) Предположим, что где Ясно, что и d — рациональные числа; пусть q — их общий знаменатель. Осталось заметить, что в левой части равенства
стоит ненулевое число, стремящееся к нулю при между тем как знаменатель числа, стоящего в его правой части, не больше q, поэтому оно не может стремиться к нулю.
Ответ: Нет, не существует.
а) Докажите, что при всех Подставим выражения для членов последовательности
Что, очевидно, верно.
б) Известно, что Верно ли, что Нет. Выберем такие a, b для которых
такие найдутся, поскольку уравнения не пропорциональны. Тогда
в) Пусть Существует ли арифметическая прогрессия, среди членов которой содержатся все числа
Нет. Допустим это прогрессия с первым членом A и разностью d. Тогда и В таком случае
откуда d — рациональное число. Тогда и — рациональное число. Пусть их общий знаменатель равен x, тогда все члены прогрессии могут быть записаны как дроби со знаменателем x. Но ясно, что не может быть записано в виде дроби со знаменателем, меньшим чем поэтому при всех натуральных n, что невозможно.
Спрятать критерииКритерии проверки: За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. |
Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
Верное и полное выполнение задания | 3 |
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
Остальные случаи | 0 |
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: Нет, неверно. Нет, не существует.