РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Дана последовательность $x_n=a умножить на 2 в степени n плюс b умножить на 3 в степени левая круглая скобка минус n правая круглая скобка ,$ $n=0, 1,\ldots$

а)  Докажите, что $3x_n плюс 1=7x_n минус 2x_n минус 1$ при всех $n\geqslant1.$

б)  Известно, что $x_1999 больше 0.$ Верно ли, что $x_2000 больше 0?$

в)  Пусть $a=b=1.$ Существует ли арифметическая прогрессия, среди членов которой содержатся все числа $x_0, x_1,\ldots?$

Решение. а)  Нетрудно проверить, что заданное соотношение верно для последовательностей $a_n=2 в степени n$ и $b_n=3 в степени левая круглая скобка минус n правая круглая скобка .$ Поэтому

$x_n плюс 1=a умножить на a_n плюс 1 плюс b умножить на b_n плюс 1= a левая круглая скобка 7a_n минус 2a_n минус 1 правая круглая скобка плюс b левая круглая скобка 7b_n минус 2b_n минус 1 правая круглая скобка =$

$= 7 левая круглая скобка a умножить на 2 в степени n плюс b умножить на 3 в степени левая круглая скобка минус n правая круглая скобка правая круглая скобка минус 2 левая круглая скобка a умножить на 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс b умножить на 3 в степени левая круглая скобка минус левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка правая круглая скобка = 7x_n минус 2x_n минус 1.$

б)  Легко понять, что найдутся такие a и b, при которых $x_1999=1,$ а $x_2000= минус 1.$

Ответ: Нет, неверно.

в)  Предположим, что $2 в степени n плюс 3 в степени левая круглая скобка минус n правая круглая скобка =a_0 плюс dk_n,$ где $k_n принадлежит \Bbb Z_ плюс .$ Ясно, что $a_0$ и d  — рациональные числа; пусть q  — их общий знаменатель. Осталось заметить, что в левой части равенства

$3 в степени левая круглая скобка минус n правая круглая скобка =a_0 плюс dk_n минус 2 в степени n$

стоит ненулевое число, стремящееся к нулю при $n\to бесконечность ,$ между тем как знаменатель числа, стоящего в его правой части, не больше q, поэтому оно не может стремиться к нулю.

Ответ: Нет, не существует.

а)  Докажите, что $3x_n плюс 1=7x_n минус 2x_n минус 1$ при всех $n\geqslant1.$ Подставим выражения для членов последовательности

$3 левая круглая скобка a умножить на 2 в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка плюс b умножить на 3 в степени левая круглая скобка минус n минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка =7 левая круглая скобка a умножить на 2 в степени n плюс b умножить на 3 в степени левая круглая скобка минус n правая круглая скобка правая круглая скобка минус 2 левая круглая скобка a умножить на 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс b умножить на 3 в степени левая круглая скобка минус n плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно$

$равносильно 3 левая круглая скобка a умножить на 2 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка умножить на 2 плюс b умножить на 3 в степени левая круглая скобка минус n правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка =7 левая круглая скобка a умножить на 2 в степени n плюс b умножить на 3 в степени левая круглая скобка минус n правая круглая скобка правая круглая скобка минус 2 левая круглая скобка a умножить на 2 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс b умножить на 3 в степени левая круглая скобка минус n правая круглая скобка умножить на 3 правая круглая скобка равносильно$

$равносильно 6a умножить на 2 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс b умножить на 3 в степени левая круглая скобка минус n правая круглая скобка =7a умножить на 2 в степени n плюс 7b умножить на 3 в степени левая круглая скобка минус n правая круглая скобка минус a умножить на 2 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс 6b умножить на 3 в степени левая круглая скобка минус n правая круглая скобка .$

Что, очевидно, верно.

б)  Известно, что $x_1999 больше 0.$ Верно ли, что $x_2000 больше 0?$ Нет. Выберем такие a, b для которых

$левая фигурная скобка \beginaligned a умножить на 2 в степени левая круглая скобка 1999 правая круглая скобка плюс b умножить на 3 в степени левая круглая скобка минус 1999 правая круглая скобка =1, a умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2000 правая круглая скобка плюс b умножить на 3 в степени левая круглая скобка минус 2000 правая круглая скобка = минус 1, \endaligned.$

такие $a, b$ найдутся, поскольку уравнения не пропорциональны. Тогда $x_1999=1 больше 0,$ $x_2000= минус 1 меньше 0.$

Нет. Допустим это прогрессия с первым членом A и разностью d. Тогда $A плюс левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка d=x_0=2 в степени левая круглая скобка 0 правая круглая скобка плюс 3 в степени 0 =2$ и $A плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d=x_1=2 в степени 1 плюс 3 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = целая часть: 2, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 .$ В таком случае

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби = целая часть: 2, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 минус 2=x_1 минус x_0=A плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d минус A минус левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка d= левая круглая скобка n минус k правая круглая скобка d,$

откуда d  — рациональное число. Тогда и $A=2 минус левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка d$   — рациональное число. Пусть их общий знаменатель равен x, тогда все члены прогрессии могут быть записаны как дроби со знаменателем x. Но ясно, что $2 в степени n плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 в степени n конец дроби$ не может быть записано в виде дроби со знаменателем, меньшим чем $3 в степени n ,$ поэтому $x больше или равно 3 в степени n$ при всех натуральных n, что невозможно.

Критерии проверки:

За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок:
+ (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов)
Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Критерии оценивания выполнения заданий Баллы

Верное и полное выполнение задания 3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет 2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка 1
Остальные случаи 0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.
Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1022	Нет, неверно. Нет, не существует.

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Ключ