РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1641 Добавить в вариант

Пусть для каждого натурального n $левая круглая скобка n больше или равно 1 правая круглая скобка$

$n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка a_n плюс 1=n левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка a_n минус левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка a_n минус 1.$

Найдите

$дробь: числитель: a_1945, знаменатель: a_1946 конец дроби плюс дробь: числитель: a_1946, знаменатель: a_1947 конец дроби плюс ... плюс дробь: числитель: a_2019, знаменатель: a_2020 конец дроби ,$

если a₀  =  1, a₁  =  2. Докажите по индукции, что $a_n= дробь: числитель: 1, знаменатель: n! конец дроби$ $левая круглая скобка n больше или равно 0 правая круглая скобка .$

Спрятать решение

Решение.

Знаем, что $a_n= дробь: числитель: 1, знаменатель: n ! конец дроби ,$ тогда $a_n минус 1= дробь: числитель: 1, знаменатель: левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка ! конец дроби$ и

Следовательно,

$a_n плюс 1= дробь: числитель: левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: n ! левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка ! умножить на n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: левая круглая скобка n минус 3 правая круглая скобка ! левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка умножить на n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: левая круглая скобка n минус 3 правая круглая скобка ! левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка конец дроби =$
$= дробь: числитель: n минус 1 минус n плюс 2, знаменатель: левая круглая скобка n минус 3 правая круглая скобка ! левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка ! конец дроби =$
$=1946 плюс 1947 плюс умножить на s плюс 2020= дробь: числитель: левая круглая скобка 1946 плюс 2020 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби 75=148 725.$ $a_n плюс 1= дробь: числитель: левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: n ! левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка ! умножить на n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка конец дроби =$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: левая круглая скобка n минус 3 правая круглая скобка ! левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка умножить на n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: левая круглая скобка n минус 3 правая круглая скобка ! левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: n минус 1 минус n плюс 2, знаменатель: левая круглая скобка n минус 3 правая круглая скобка ! левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка конец дроби =$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка ! конец дроби =1946 плюс 1947 плюс умножить на s плюс 2020= дробь: числитель: левая круглая скобка 1946 плюс 2020 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби 75=148 725.$ $a_n плюс 1= дробь: числитель: левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: n ! левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка ! умножить на n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка конец дроби =$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: левая круглая скобка n минус 3 правая круглая скобка ! левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка умножить на n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: левая круглая скобка n минус 3 правая круглая скобка ! левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка конец дроби =$
$= дробь: числитель: n минус 1 минус n плюс 2, знаменатель: левая круглая скобка n минус 3 правая круглая скобка ! левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка ! конец дроби =$
$=1946 плюс 1947 плюс умножить на s плюс 2020= дробь: числитель: левая круглая скобка 1946 плюс 2020 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби 75=148 725.$ $a_n плюс 1= дробь: числитель: левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: n ! левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка ! умножить на n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка конец дроби =$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: левая круглая скобка n минус 3 правая круглая скобка ! левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка умножить на n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: левая круглая скобка n минус 3 правая круглая скобка ! левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка конец дроби =$
$= дробь: числитель: n минус 1 минус n плюс 2, знаменатель: левая круглая скобка n минус 3 правая круглая скобка ! левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка конец дроби =$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка ! конец дроби =1946 плюс 1947 плюс умножить на s плюс 2020=$
$= дробь: числитель: левая круглая скобка 1946 плюс 2020 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби 75=148 725.$

Ответ: 148 725.

Межрегиональная олимпиада школьников по математике САММАТ, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Анализ. Последовательности, Методы алгебры. Метод математической индукции

Спрятать решение · Помощь