сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 29 № 1002
i

Про по­сле­до­ва­тель­ность  левая фи­гур­ная скоб­ка c_n пра­вая фи­гур­ная скоб­ка из­вест­но, что c_1=c боль­ше 0 и c_n плюс 1= дробь: чис­ли­тель: 2 левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: c_n в квад­ра­те плюс 4 конец ар­гу­мен­та минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: c_n конец дроби .

 

а)  До­ка­жи­те, что по­сле­до­ва­тель­ность  левая фи­гур­ная скоб­ка c_n пра­вая фи­гур­ная скоб­ка мо­но­тон­на и вы­чис­ли­те ее пре­дел.

б)  До­ка­жи­те, что если c=2, то \lim\limits2 в сте­пе­ни n c_n= Пи .

в)  Сколь­ко ра­ци­о­наль­ных чисел может со­дер­жать такая по­сле­до­ва­тель­ность?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Так как

 0 мень­ше c_n плюс 1= дробь: чис­ли­тель: 2c_n, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: c_n в квад­ра­те плюс 4 конец ар­гу­мен­та плюс 2 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: c_n, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,

то по­сле­до­ва­тель­ность  левая фи­гур­ная скоб­ка c_n пра­вая фи­гур­ная скоб­ка мо­но­тон­но стре­мит­ся к нулю.

б)  Не­труд­но ви­деть, что если c_n=2 тан­генс альфа , то c_n плюс 1=2 тан­генс дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Так как c_1=2=2 тан­генс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , то c_n=2 тан­генс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби , по­это­му

 \lim_n\to бес­ко­неч­ность 2 в сте­пе­ни n c_n=\lim_n\to бес­ко­неч­ность 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка тан­генс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = Пи .

в)  Сколь­ко угод­но. Если, к при­ме­ру число c_100 при­над­ле­жит \Bbb Q, то, по­сколь­ку c_n= дробь: чис­ли­тель: 8c_n плюс 1, зна­ме­на­тель: 4 минус c_n плюс 1 в квад­ра­те конец дроби , то c_k при­над­ле­жит \Bbb Q при всех k=1,\ldots,100.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

Мак­си­мум за сюжет 12 бал­лов. При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.