Про последовательность известно, что и
а) Докажите, что любое натуральное число представимо в виде суммы различных (возможно, одного) членов этой последовательности.
б) Докажите, что если последовательность qn такова, что всякое натуральное числа представляется в виде суммы некоторых членов последовательности единственным образом, то
в) Найдите все последовательности, для которых имеет место тождество из предыдущего пункта.
а) Индукционное предположение: в виде сумм чисел представимо каждое натуральное число от 1 до Тогда, добавляя число мы сможем представить еще числа от до Поскольку по предположению в требуемом виде представляются все числа от 1 до
б) Раскрывая скобки в левой части, мы будем получать одночлены вида причем в силу условия на данный набор чисел qk каждое появится ровно один раз, поэтому коэффициент при каждом таком одночлене равен единице.
в) Из результатов предыдущих пунктов следует, что