Всего: 83 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Два коридора высотой и шириной в 1 м идут перпендикулярно друг другу по первому и второму этажу здания. Разделяющее их перекрытие разобрано, образуя дыру 1 
1 м в полу одного и потолке другого. Какова максимальная длина балки, которую можно передать из одного коридора в другой через дыру? (Балку считать негнущимся отрезком нулевой толщины. Толщина перекрытия также равна нулю, т. е. пол верхнего коридора и потолок нижнего коридора находятся в одной плоскости.)
— указанную в ответе длину балки, PQRS — квадрат, образующий дыру.
Производная этой функции равна 
Отсюда видно, что минимум функции достигается при 
Подставляя это значение в выражение для AX, получаем после преобразований min(AX) = d (напомним, d обозначает число, указанное в ответе). Таким образом, длина AX всё время не меньше длины балки (в частности при 
), т. е. точка B никогда не выходит за пределы отрезка AX, а значит и за пределы коридоров, что и требовалось. 
Поскольку движение балки непрерывно, при любом способе передачи возникнет момент, когда точка O окажется в плоскости PQRS. Покажем, что в этот момент длина балки не может быть больше d.
и 
— вертикальные плоскости, проходящие через O параллельно осям верхнего и нижнего коридора соответственно, zA — расстояние от A до плоскости PQRS, xA — расстояние от A до 
yA — расстояние от A до 
zB, xB, yB — аналогичные расстояния для точки B. (На рисунке ниже слева изображён "вид сверху" в проекции на плоскость PQRS, плоскости и проецируются в прямые, отрезки zA и zB не видны, т. к. проецируются в точки A и B соответственно. Точка O находится в плоскости PQRS).
Кроме того, 
Тогда длина всей балки:
Сторона BC правильного треугольника ABC разделена на 2016 равных частей точками A1, . . . , A2015, стороны AC и AB — точками B1, . . . , B2015 и C1, . . . , C2015. Треугольник AiBjCk называется красным, если содержит центр ABC, и синим иначе. Каких треугольников больше, красных или синих?
от общего числа, то мы докажем, что всего синих больше, чем красных.
(тогда на каждой стороне n точек, всего n3 треугольников; каждая сторона разделена на 6l равных частей). Тогда нам надо доказать, что из 
пар (Bj, Ck) более 
) удовлетворяет условию.
имеет вид:
в точках (0, 0) и (1/3, 1/3) должна быть одного знака, то есть отрицательна, то есть 
Таким образом, нам нужно показать, что строго внутри области с синей границей лежит не менее шестой части точек вида
синих точек. Внутри треугольника с вершинами (2/3, 2/3), (1, 1/2), (1, 2/3), исключая вершину и точки прямой 
остаётся 
точки. Суммарно получаем 
точки, что меньше 
однако ещё есть точки строго внутри жёлтых областей, которых нам достаточно найти ещё хотя бы 2 штуки. Или в одной области хотя бы две точки. Возьмём тогда в левой жёлтой области точки 
и 
(2016 делится на 24, так что эти точки нам подходят).
целых точек границы многоугольника. Тогда вычисление площади по формуле Пика даёт равенство
Квадратное уравнение имеет корни 
Но 2016 > 24 (поэтому 
), поэтому неравенство выполнено.На окружности с центром O расположим шестёрку точек P1, . . . , P6. Назовём шестёрку интересной, если 
и все углы ∠PiOPj целые в градусах. Назовём шестёрку скучной, если она переводится в себя отражением от точки O или поворотом вокруг O на 120°. Существуют ли интересные нескучные шестёрки точек на окружности?
Рассмотрим две различные точки P5 и P6, такие что ∠P0OP5 = ∠P0OP6 = 60°. Тогда 
отсюда 
Углы между соседними векторами 
для i = 1, . . . , 6 равны 12°, 72°, 120°.
Точка M лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB, при этом прямые AM и AC перпендикулярны. Найти MA, если радиус описанной вокруг треугольника ABC окружности равен 9.
и 
Из перпендикулярности векторов 
и 
следует, что 
Откуда, учитывая 
получаем 
Из перпендикулярности векторов 
следует, что 
Кроме этого 
и 
Найдите отношение AB : AC.
и 
Тогда
то есть 
и 
Тогда
По воде вокруг поплавка против часовой стрелки по двум окружностям скользят водомерка и жук-плавунец. На поверхности воды введена прямоугольная система координат, в которой поплавок (общий центр окружностей) находится в точке (0; 0). Скорость водомерки в два раза больше скорости жука. В начальный момент времени водомерка и жук находятся в точках 
и 
с соответственно. Определите координаты всех положений жука, при которых расстояние между насекомыми будет кратчайшим.
и 
соответственно, где 
и 
равен π, и при этом 
где 
— углы, соответствующие начальным расположениям насекомых.
и 
равен нулю. Поскольку 
—
то угловая скорость водомерки в 5 раза больше угловой скорости жука.
Тогда 
Следовательно, 
Для 
получаем 
Координаты положения жука найдём по формулам 
и 
Используя координаты точки 
находим 
и 
вокруг начала координат на углы 
π, 
и имеют, соответственно, координаты 
Вокруг крючка с червяком в одной плоскости с ним по двум окружностям плавают карась и пескарь. В указанной плоскости введена прямоугольная система координат, в которой крючок (общий центр окружностей) находится в точке (0; 0). В начальный момент времени карась и пескарь находятся в точках 
и 
соответственно. Скорость карася в два с половиной раза больше скорости пескаря, оба двигаются по часовой стрелке. Определите координаты всех положений пескаря, при которых расстояние между рыбами будет кратчайшим.
где 
и 
—
то угловая скорость карася в 5 раза больше угловой скорости пескаря. Пусть к моменту совпадения направления векторов 
по часовой стрелке. Тогда 
где 
Следовательно, 
Координаты положения пескаря найдём по формулам 
и 
Используя координаты точки 
и 
−π, 
и имеют, соответственно, координаты 
На столе лежит кусочек сахара, вокруг которого по двум окружностям с одной и той же скоростью ползают муравей и жук. На плоскости стола введена прямоугольная система координат, в которой сахар (общий центр окружностей) находится в точке
и 
и 
— углы, соответствующие начальным расположениям насекомых. 
—
Следовательно, 
Для 
и 
Остальные точки получаются поворотом точки 
и имеют, соответственно, координаты 
и 
Вокруг птичьей кормушки в одной плоскости с ней по двум окружностям с одинаковой скоростью летают синица и снегирь. В указанной плоскости введена прямоугольная система координат, в которой кормушка (общий центр окружностей) находится в точке O(0; 0). Синица двигается по часовой стрелке, а снегирь — против. В начальный момент времени синица и снегирь находятся в точках 
и 
соответственно. Определите координаты всех положений снегиря, в которых расстояние между птицами будет кратчайшим.
и 
— углы, соответствующие начальным расположениям птиц. 
и 
— это радиусы окружностей, и 
Тогда 
Следовательно, 
Для 
и 
Остальные точки получаются поворотом точки 
и имеют, соответственно, координаты 
и 
и наши две окружности превращаются в прямые BC, BD, образующие прямой угол, а стороны исходного угла — в пару окружностей, вписанных в этот угол, перпендикулярных друг другу (как и соответствующие прямые до инверсии) и пересекающихся в точках A, i(R). Вычислим отношение их радиусов — это легко делается применением теоремы Пифагора к треугольнику AO1O2 со сторонами r1, r2, 
(O1, O2 — центры новых окружностей, 
—
будем считать 
а точки касания: 
—
и считая расстояние от неё до O1, O2 убеждаемся, что это точка пересечения наших окружностей, как и середина 
Значит, эти середины — точки A, i(R). Поскольку A не лежит на биссектрисе угла, то прямая, из которой наш угол высекает отрезок с серединой A — единственна, так что соответствующая пара точек X, Yi совпадает с 
Пусть A′ — середина этого отрезка, тогда не очень трудно проверить, что она лежит на обеих 
Осталось убедиться, что 
значит, 
а сумма соответствующих углов между хордой и касательной 
прямой, то C и D совпадают с точками касания окружностей и угла.
то AC и AD должны быть симметричны AB относительно радиусов соответствующих окружностей. Из этой симметричности ясно, что такие точки C и D единственны. Значит, если мы покажем, что точки касания подходят на их роль, мы победим. Пусть радиус маленькой окружности равен 1, большой — R. Тогда из теоремы Пифагора для 
получим: 
а именно 
Тогда координаты двух других вершин — 
и 
которые следуют из перпендикулярности соседних звеньев. Получим систему уравнений: 
На каждую грань куба установлена правильная 4-угольная пирамида, основанием которой является эта грань куба. Все пирамиды равны.
а) Могут ли боковые ребра трех пирамид, исходящие из одной вершины куба, лежать в одной плоскости? Если это возможно, найдите высоты таких пирамид, выразив их через длину α ребра куба. Если это невозможно, приведите доказательство.
б) Могут ли указанные в п. а) тройки ребер лежать в плоскостях (каждая тройка — в своей плоскости) одновременно для всех вершин куба?
лежит в плоскости AXY, основание пирамиды с вершиной 
—
высота пирамид равна h. Тогда координаты вершин пирамид будут 
(т. е. на диагональ AB проецируется вершина 
В силу симметрии сумма векторов 
будет лежать в плоскости ABY. В этой же плоскости лежит вектор 
Если вершины O1, O2, O3 лежат в одной плоскости, то пересечением этой плоскости с плоскостью ABY должна быть прямая.
коллинеарные.
откуда либо 
либо 
Первый корень не подходит согласно геометрическому смыслу h. 
Ответ на вопрос Б) очевиден в силу симметрии. Необходимо построить дорогу, вымощенную бетонными плитами. Она пройдет в местности, где есть прямолинейный участок линии электропередач (ЛЭП) и завод по производству плит, находящийся на расстоянии d от ЛЭП 
Для ритмичной работы требуется, чтобы каждая точка строящейся дороги была одинаково удалена от завода и от ЛЭП.
А) Введите систему координат так, чтобы кирпичный завод имел координаты (0, 0), а ЛЭП проходила через точку (0, d) параллельно одной из координатных осей, и найдите координаты точек на дороге, удаленной от завода на расстояние 5d.
Б) Для каких натуральных n на такой дороге существует точка, удаленная от завода на расстояние nd?
Заметим, что строящаяся дорога будет находиться ниже этой прямой, (в полуплоскости 
—
есть 
Это расстояние равно расстоянию между точкой M и ЛЭП, которое составляет 
Из двух решений полученного уравнения выбираем то, которое удовлетворяет условию 
Таким образом, 
Осталось решить уравнение 
Такое решение всегда существует и равно 
Далее получаем уравнение 
при любом натуральном n.
Точки D и M лежат по разные стороны от прямых AB и BC. Какой из углов AMB и CMD больше?
Значит, эти треугольники равны и сторона DN параллельна стороне CM. Тогда 
— правильный 
Ответ обоснуйте.
А если приложить вектор 
к концу вектора 
(правило треугольника), то получившийся угол будет равен 
будет и между соседними сторонами правильного 
то получатся две стороны правильного 
(правило многоугольника), то получатся три стороны правильного 
равна вектору 
(см. рис. нижний). Заметим, что: 
например, на угол 
(можно повернуть на угол, кратный 
). При этом вектор 
—
Если 
то вектор 
т. к. они неколлинеарны. Единственный вариант, когда 
это 
сделана попытка построить сумму векторов, но автору решения на удалось доказать, что сумма векторов равна 
(или на кратный ему угол) сумма векторов не изменится, но не обоснованно утверждение, что сумма векторов равна На сторонах BC и AB остроугольного треугольника ABC выбраны точки D и X. Прямые, проходящие через X параллельно BC и AD, пересекают соответственно стороны AC и BC в точках Y и Z. Пусть M, K и N — середины отрезков BC, YZ и AD соответственно. Найдите угол MKN.
Поскольку LP и AD параллельны, треугольники MLP и MAD подобны, а прямая MK будет их общей медианой. Но MN — тоже медиана MAD. Значит, точки M, K, N лежат на одной прямой и 
Тогда 
— правильный 2017-угольник. O — его центр. Найдите сумму векторов 
Ответ обоснуйте.
А если приложить вектор 
не изменится, а суммарный вектор 
Если 
то вектор