На каждую грань куба установлена правильная 4-угольная пирамида, основанием которой является эта грань куба. Все пирамиды равны.
а) Могут ли боковые ребра трех пирамид, исходящие из одной вершины куба, лежать в одной плоскости? Если это возможно, найдите высоты таких пирамид, выразив их через длину α ребра куба. Если это невозможно, приведите доказательство.
б) Могут ли указанные в п. а) тройки ребер лежать в плоскостях (каждая тройка — в своей плоскости) одновременно для всех вершин куба?
Обозначим произвольную вершину куба A, вершины пирамид, соединенные с ней ребрами, O1, O2, O3.
Введем систему координат, поместив ее начало в точку A и направив оси AX, AY и AZ вдоль сторон куба. Пусть основание пирамиды с вершиной 
лежит в плоскости AXY, основание пирамиды с вершиной 
—
Пусть ребро куба равно 
высота пирамид равна h. Тогда координаты вершин пирамид будут
Обозначим через B вершину куба с координатами 
(т. е. на диагональ AB проецируется вершина 
В силу симметрии сумма векторов 
будет лежать в плоскости ABY. В этой же плоскости лежит вектор 
Если вершины O1, O2, O3 лежат в одной плоскости, то пересечением этой плоскости с плоскостью ABY должна быть прямая.
Следовательно, вершины пирамид будут лежать в одной плоскости, если вектора
и 
коллинеарные.
Из условий коллинеарности
получаем, что должно выполняться 
откуда либо 
либо 
Первый корень не подходит согласно геометрическому смыслу h.
Осталось вспомнить, что заданная в условии величина 
Ответ на вопрос Б) очевиден в силу симметрии.
Ответ: в а) и в б) могут, если высоты всех пирамид равны a.