Сюжет 2
Две окружности, вписанные в угол с вершиной R, пересекаются в точках A и B. Через A проведена прямая, пересекающая меньшую окружность в точке C, а большую — в точке D. Оказалось, что AB = AC = AD.
2.3 Докажите, что если угол R прямой, то точки C и D совпадают с точками касания окружностей и угла.
Выполним инверсию i относительно центра окружности с центром в A и радиусом AB. Имеем 
и наши две окружности превращаются в прямые BC, BD, образующие прямой угол, а стороны исходного угла — в пару окружностей, вписанных в этот угол, перпендикулярных друг другу (как и соответствующие прямые до инверсии) и пересекающихся в точках A, i(R). Вычислим отношение их радиусов — это легко делается применением теоремы Пифагора к треугольнику AO1O2 со сторонами r1, r2, 
(O1, O2 — центры новых окружностей, 
—
будем считать 
Введём связанную с нашим прямым углом систему координат, тогда центры имеют координаты (1, 1) и 
а точки касания:
Середина 
—
и считая расстояние от неё до O1, O2 убеждаемся, что это точка пересечения наших окружностей, как и середина 
Значит, эти середины — точки A, i(R). Поскольку A не лежит на биссектрисе угла, то прямая, из которой наш угол высекает отрезок с серединой A — единственна, так что соответствующая пара точек X, Yi совпадает с
Есть решение и без инверсий.
Из условия легко следует, что радиусы окружностей перпендикулярны: отрезки AC и AD симметричны AB относительно соответствующих радиусов, а C, A, D лежат на одной прямой.
Кроме того, из этой симметричности ясно, что такие точки C и D единственны. Значит, если покажем, что точки касания подходят на их роль, мы победим. Пусть радиус маленькой окружности равен 1, большой — R. Тогда из теоремы Пифагора 
у этого уравнения ровно одно решение, где 
Пусть C′, D′ — точки касания первой и второй окружностей разных сторон угла. Введём систему координат параллельно сторонам угла, тогда 
Пусть A′ — середина этого отрезка, тогда не очень трудно проверить, что она лежит на обеих
То есть можно считать 
Осталось убедиться, что
Тогда
(последнее равенство можно проверить, возведя в квадрат). По симметрии точка B имеет координаты 
значит,
Ура!
а сумма соответствующих углов между хордой и касательной 
