РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2359 Добавить в вариант

Необходимо построить дорогу, вымощенную бетонными плитами. Она пройдет в местности, где есть прямолинейный участок линии электропередач (ЛЭП) и завод по производству плит, находящийся на расстоянии d от ЛЭП $левая круглая скобка d не равно 0 правая круглая скобка .$ Для ритмичной работы требуется, чтобы каждая точка строящейся дороги была одинаково удалена от завода и от ЛЭП.

А)  Введите систему координат так, чтобы кирпичный завод имел координаты (0, 0), а ЛЭП проходила через точку (0, d) параллельно одной из координатных осей, и найдите координаты точек на дороге, удаленной от завода на расстояние 5d.

Б)  Для каких натуральных n на такой дороге существует точка, удаленная от завода на расстояние nd?

Спрятать решение

Решение.

Пусть ЛЭП проходит параллельно координатной оси ОХ. Тогда ей будет соответствовать прямая $y=d.$ Заметим, что строящаяся дорога будет находиться ниже этой прямой, (в полуплоскости $y меньше или равно d правая круглая скобка .$

А)  Если $M левая круглая скобка x, y правая круглая скобка$   — искомая точка строящейся дороги, то расстояние до завода $M O$ есть $корень из: начало аргумента: x в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс y в квадрате правая круглая скобка .$ Это расстояние равно расстоянию между точкой M и ЛЭП, которое составляет $|y минус d|.$

Согласно условию, $|y минус d|=5 d .$ Из двух решений полученного уравнения выбираем то, которое удовлетворяет условию $y меньше или равно d .$ Таким образом, $y= минус 4 d .$ Осталось решить уравнение

$корень из: начало аргумента: x в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс левая круглая скобка минус 4 d правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка =5 d .$

Оно имеет два решения $x=\pm 3d.$

Б)  Для поиска указанной точки сначала необходимо решить Уравнение

$|y минус d|=5 d$

при дополнительном условии $y меньше или равно d.$ Такое решение всегда существует и равно $минус левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d .$ Далее получаем уравнение

$корень из: начало аргумента: x в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка в квадрате d в квадрате правая круглая скобка =n d,$

которое имеет решение $x=\pm корень из: начало аргумента: 2 n минус 1 конец аргумента d$ при любом натуральном n.

Ответ:

А)  две точки $левая круглая скобка минус 3 d, минус 4 d правая круглая скобка , левая круглая скобка 3 d, минус 4 d правая круглая скобка ;$

Б)  для любых натуральных n.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Вид погрешности или ошибки	Отметка в работе	Баллы
Каждая задача оценивается по 10-балльной шкале и снабжается отметкой в работе 0, −, ∓, ±, + в соответствии с критериями.
Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения	+	10
Решение верное, но путь не рационален или имеются один  — три недочета или негрубая ошибка	+	9
Решение верное, но путь не рационален и имеются один  — три недочета или негрубая ошибка	±	7−8
Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено	∓	5−6
Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный)	∓	3−4
Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато  — без ошибок	−	2
Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата	−	1
Задача не решилась	0	0
Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки:    I.  Логические, приводящие к неверному заключению.   II.  Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III.  Неверный чертеж в геометрических задачах. IV.  Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем.

Олимпиада школьников Надежда энергетики, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Задачи, где в условии координаты, Методы геометрии. Применение векторов и/или координат

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь