РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 100 Добавить в вариант

На окружности с центром O расположим шестёрку точек P₁, . . . , P₆. Назовём шестёрку интересной, если $\overrightarrowOP_1 плюс . . . плюс \overrightarrowOP_6 = 0,$ и все углы ∠P_iOP_j целые в градусах. Назовём шестёрку скучной, если она переводится в себя отражением от точки O или поворотом вокруг O на 120°. Существуют ли интересные нескучные шестёрки точек на окружности?

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим точки P₀, . . . , P₄ в вершинах правильного пятиугольника. Тогда имеем $\sum пределы: от i=0 до 4, \overrightarrowOP_i = 0.$ Рассмотрим две различные точки P₅ и P₆, такие что ∠P₀OP₅ = ∠P₀OP₆ = 60°. Тогда $\overrightarrowOP_1 плюс \overrightarrowOP_6 = \overrightarrowOP_0,$ отсюда $\sum пределы: от i=1 до 6, \overrightarrowOP_i = 0.$ Углы между соседними векторами $\overrightarrowOP_i$ для i = 1, . . . , 6 равны 12°, 72°, 120°.

Очевидно, что данная шестёрка не обладает центральной симметрией и не самосовмещается поворотом на 120°.

Ответ: да.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный пример.	20
Верный пример получен, но опущено обоснование.	15
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.	0
Максимальный балл	20

Всероссийская олимпиада школьников Высшая проба, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Задачи, где в условии вектор, Методы геометрии. Применение векторов и/или координат

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь