В общем виде: до­ка­жем, что сумма ра­ди­ус-век­то­ров пра­виль­но­го n-уголь­ни­ка равна

Решим за­да­чу через сло­же­ние век­то­ров. Угол между со­сед­ни­ми век­то­ра­ми равен А если при­ло­жить век­тор к концу век­то­ра (пра­ви­ло тре­уголь­ни­ка), то по­лу­чив­ший­ся угол будет равен

Такой же угол будет и между со­сед­ни­ми сто­ро­на­ми пра­виль­но­го n-уголь­ни­ка. Таким об­ра­зом, если скла­ды­вать век­то­ры и то по­лу­чат­ся две сто­ро­ны пра­виль­но­го n-уголь­ни­ка(см. рис. свер­ху), если к концу вто­ро­го век­то­ра при­ло­жить век­тор (пра­ви­ло мно­го­уголь­ни­ка), то по­лу­чат­ся три сто­ро­ны пра­виль­но­го n-уголь­ни­ка и т. д. В n-уголь­ник, и, по пра­ви­лу n-уголь­ни­ка, сумма век­то­ров будет равна

Ответ:

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние (через по­во­ро­ты).

Пусть сумма век­то­ров равна век­то­ру (см. рис снизу). За­ме­тим, что:

Сде­ла­ем по­во­рот пра­виль­но­го n-уголь­ни­ка с цен­тром в точке O на угол На­при­мер, на угол A₁OA₂, также можно по­вер­нуть на угол, крат­ный При этом век­тор пе­рейдёт в век­тор век­тор   — в век­тор и т. д., а век­тор   — в В ре­зуль­та­те n-уголь­ник пе­рейдёт сам в себя, сле­до­ва­тель­но, не из­ме­нит­ся, а сум­мар­ный век­тор пе­рейдёт в век­тор Если то век­тор т. к. они не­кол­ли­не­ар­ны. Един­ствен­ный ва­ри­ант, когда это