РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2513 Добавить в вариант

$A_1A_2...A_2017$   — правильный 2017-угольник. O  — его центр. Найдите сумму векторов $\overrightarrowOA_1 плюс \overrightarrowOA_2 плюс ... плюс \overrightarrowOA_2017.$ Ответ обоснуйте.

Решение.

В общем виде: докажем, что сумма радиус-векторов правильного n-угольника равна $\vec0.$

Решим задачу через сложение векторов. Угол между соседними векторами равен $дробь: числитель: 360 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , знаменатель: n конец дроби .$ А если приложить вектор $\overrightarrowO A_2$ к концу вектора $\overrightarrowO A_1$ (правило треугольника), то получившийся угол будет равен

$180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус дробь: числитель: 360 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , знаменатель: n конец дроби =180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: n минус 2, знаменатель: n конец дроби .$

Такой же угол $левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: n минус 2, знаменатель: n конец дроби правая круглая скобка$ будет и между соседними сторонами правильного n-угольника. Таким образом, если складывать векторы $\overrightarrowO A_1$ и $\overrightarrowO A_2,$ то получатся две стороны правильного n-угольника(см. рис. сверху), если к концу второго вектора приложить вектор $\overrightarrowO A_3$ (правило многоугольника), то получатся три стороны правильного n-угольника и т. д. В n-угольник, и, по правилу n-угольника, сумма векторов будет равна $\vec0.$

Ответ: $\vec0.$

Приведем другое решение (через повороты).

Пусть сумма векторов $\overrightarrowO A_1 плюс \overrightarrowO A_2 плюс умножить на s плюс \overrightarrowO A_n$ равна вектору $\vecp$ (см. рис снизу). Заметим, что:

$\angle A_1 O A_2= \angle A_2 O A_3= умножить на s= \angle A_n O A_1= дробь: числитель: 360 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , знаменатель: n конец дроби .$

Сделаем поворот правильного n-угольника с центром в точке O на угол $дробь: числитель: 360 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , знаменатель: n конец дроби .$ Например, на угол A₁OA₂, также можно повернуть на угол, кратный $дробь: числитель: 360 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , знаменатель: n конец дроби .$ При этом вектор $\overrightarrowO A_1$ перейдёт в вектор $\overrightarrowO A_2,$ вектор $\overrightarrowO A_2$   — в вектор $\overrightarrowO A_3$ и т. д., а вектор $\overrightarrowO A_n$   — в $\overrightarrowO A_1.$ В результате n-угольник перейдёт сам в себя, следовательно, $\overrightarrowO A_1 плюс \overrightarrow0 A_2 плюс умножить на s плюс \overrightarrow0 A_n$ не изменится, а суммарный вектор $\vecp$ перейдёт в вектор $\overrightarrowp_1.$ Если $\vecp не равно q \overrightarrow0,$ то вектор $\vecp не равно q \vecp_1,$ т. к. они неколлинеарны. Единственный вариант, когда $\vecp=\vecp_1,$ это $\vecp=\vec0.$

Критерии	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	15
Всё выполнено верно, но в ответе записан 0, а не $\vec0$	10
Векторно: указано, что ответом будет $\vec0,$ сделана попытка построить сумму векторов, но автору решения на удалось доказать, что сумма векторов равна $\vec0.$ Через повороты: получен верный ответ $\vec0,$ показано, что при повороте фигуры на угол $дробь: числитель: 360 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , знаменатель: n конец дроби$ (или на кратный ему угол) сумма векторов не изменится, но не обоснованно утверждение, что сумма векторов равна $\vec0$	5
Все остальные случаи	0

Аналоги к заданию № 2407: 2513 Все

Решение · Критерии · Помощь