РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2035 Добавить в вариант

Существует ли пятизвенная неплоская замкнутая ломаная, все звенья которой равны, а каждые два соседних звена перпендикулярны?

Спрятать решение

Решение.

Обозначим ломаную ABCDE. Не умаляя общности, можно считать, что длина каждого звена равна 1. Тогда можно ввести систему координат, в которой три вершины имеют координаты $A левая круглая скобка 0; 1; 0 правая круглая скобка ,$ $B левая круглая скобка 0; 0; 0 правая круглая скобка ,$ $C левая круглая скобка 1; 0; 0 правая круглая скобка .$ Тогда координаты двух других вершин  — $D левая круглая скобка 1; a; b правая круглая скобка$ и $E левая круглая скобка c; 1; d правая круглая скобка .$

Запишем 5 раз теорему Пифагора: три условия вида «длина звена равна 1» и ещё два условия вида «длина отрезка между несоседними вершинами равна $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента »,$ которые следуют из перпендикулярности соседних звеньев. Получим систему уравнений:

$система выражений C D = 1, D E = 1 , E A = 1, C E = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , D A = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец системы . \Rightarrow система выражений a в квадрате плюс b в квадрате =1, левая круглая скобка 1 минус c правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка b минус d правая круглая скобка в квадрате =1, c в квадрате плюс d в квадрате =1, левая круглая скобка 1 минус c правая круглая скобка в квадрате плюс 1 в квадрате плюс d в квадрате =2 , 1 в квадрате плюс левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс b в квадрате =2 конец системы . \Rightarrow$
$\Rightarrow система выражений a в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс b в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка = левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс b в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка = 1 , c в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс d в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка = левая круглая скобка c минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс d в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка = 1 , левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка c минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка b минус d правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка = 1 конец системы . \Rightarrow система выражений a=c= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , |b|=|d|= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , левая круглая скобка b минус d правая круглая скобка в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец системы .$ $система выражений C D = 1, D E = 1 , E A = 1, C E = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , D A = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец системы . \Rightarrow система выражений a в квадрате плюс b в квадрате =1, левая круглая скобка 1 минус c правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка b минус d правая круглая скобка в квадрате =1, c в квадрате плюс d в квадрате =1, левая круглая скобка 1 минус c правая круглая скобка в квадрате плюс 1 в квадрате плюс d в квадрате =2 , 1 в квадрате плюс левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс b в квадрате =2 конец системы . \Rightarrow$
$\Rightarrow система выражений a в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс b в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка = левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс b в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка = 1 , c в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс d в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка = левая круглая скобка c минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс d в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка = 1 , левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка c минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка b минус d правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка = 1 конец системы . \Rightarrow$
$\Rightarrow система выражений a=c= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , |b|=|d|= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , левая круглая скобка b минус d правая круглая скобка в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец системы .$ $система выражений C D = 1, D E = 1 , E A = 1, C E = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , D A = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец системы . \Rightarrow$
$\Rightarrow система выражений a в квадрате плюс b в квадрате =1, левая круглая скобка 1 минус c правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка b минус d правая круглая скобка в квадрате =1, c в квадрате плюс d в квадрате =1, левая круглая скобка 1 минус c правая круглая скобка в квадрате плюс 1 в квадрате плюс d в квадрате =2 , 1 в квадрате плюс левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс b в квадрате =2 конец системы . \Rightarrow$
$\Rightarrow система выражений a в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс b в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка = левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс b в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка = 1 , c в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс d в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка = левая круглая скобка c минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс d в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка = 1 , левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка c минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка b минус d правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка = 1 конец системы . \Rightarrow$
$\Rightarrow система выражений a=c= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , |b|=|d|= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , левая круглая скобка b минус d правая круглая скобка в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец системы .$

Очевидно, эта система не имеет решений. Значит, такой ломаной не существует.

Ответ: нет, не существует.

Олимпиада «Формула Единства» / «Третье тысячелетие», 11 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Комбинации плоских фигур, Методы геометрии. Применение векторов и/или координат

Спрятать решение · Помощь