Всего: 343 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
а второго 
их сумма равна единице. Тогда 
, откуда 
Докажем, что 
не зависит от x и y. 
Так как 
получаем:
Что и требовалось доказать.
(дуги), следовательно, треугольники BMX и ZAM подобны, поэтому 
(дуги), следовательно, треугольники AMY и BMZ подобны, поэтому 
Отсюда 
В квадрат АВСD вписана окружность, касающаяся его сторон АВ, ВС, СD, DA в точках P, Q, R и S соответственно. На отрезках АР и АS взяты точки M и N так, что отрезок MN касается вписанной окружности. Докажите, что отрезки МС и NR параллельны.
и 
По свойству касательных из одной точки отсюда следует, что длина MN равна их сумме, то есть 
Теорема Пифагора для треугольника AMN, даёт 
откуда 
Последнее равенство запишем как 
откуда сразу следует подобие прямоугольных треугольников BMC и DRN, влекущее параллельность их гипотенуз МС и NR.
Пусть А и В — две различных фиксированных точки окружности, С — произвольная точка этой окружности, отличная от А и В, и МР — перпендикуляр, опущенный из середины М хорды ВС к хорде АС. Доказать, что прямые РМ при любом выборе С проходят через некоторую общую точку Т.
Известно, что 
Найдите синус угла между диагоналями этого четырехугольника, если его площадь принимает наименьшее возможное значение при данных условиях.
— отрезки, на которые диагонали делятся их точкой пересечения. Обозначим угол между диагоналями через 
По условию площади треугольников ABO и CDO равны, то есть 
Отсюда 
и, следовательно, треугольники BOC и AOD подобны по первому признаку подобия: две стороны 
и 
треугольника BOC пропорциональны двум сторонам 
и 
треугольника AOD, а углы, образованные этими сторонами 
и 
равны. Пусть 
— коэффициент подобия треугольников BOC и 
Обозначим через S площади треугольников ABO и CDO (по условию 
Тогда 
и 
В итоге, площадь четырехугольника ABCD может быть представлена в виде:
минимальное значение выражения 
достигается при 
Значит, 
и 
то есть диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, поэтому ABCD — параллелограмм. Его площадь 
(1)
Т. к. 
треугольники QMA и EMP имеют два равных угла. Значит, у них равен и третий угол, и он прямой. EQ и AP — высоты в треугольнике ADE, значит, M — точка пересечения высот.
Из точки Q опущены перпендикуляры QM и QK на стороны AB и BC соответственно. При этом 
Найдите 
и 
то треугольник M1BK1 подобен треугольнику MBK с коэффициентом подобия 2 (их общий угол лежит между пропорциональными сторонами). Хорошо известно, что треугольник, образованный двумя основаниями высот и вершиной, подобен исходному, а именно: треугольник M1BK1 подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия 
Значит, 
и тогда 
Подставив найденное значение в (1), получаем ответ.
Откуда находим 
По теореме Пифагора 
Найти площадь трапеции ABCD.
Пусть 
Ввиду подобия 
и по теореме Пифагора:
Так как, то, подставляя в последнее уравнение, получим:
Тогда 
По условию задачи 2hc = ka, 2hb = kb, 2ha = kc, где — коэффициент подобия. Следовательно,
тогда
и 
следует подобие треугольников MNL и CAL . Поэтому AL : AN = CL : CM = AK : AB, и треугольник ABN подобен треугольнику AKL. Равенство BN = AB теперь следует из равенства KL = AK.
Прямоугольные треугольники МNK и НСD подобны, так как у них 
(утлы со взаимно перпендикулярными сторонами). Поэтому 
и площадь четырехугольника равна 50, трапеция вырождается в квадрат с площадью, конечно, равной 100. Это должно быть отражено в решении. 
откуда BD = 3DP.
Отметим, что 
и 
—
и LM — средние линии в треугольниках ABC и BCD, KL и AC — перпендикулярны, LM и BD — перпендикулярны. Значит, KL перпендикулярна LM, то есть треугольник KLM — прямоугольный. Кроме того, 
а 
Отсюда 
Так как 
то 
и 
Значит, 
то есть треугольник 
а 
Отсюда 
и 
которые подобны с коэффициентом 
Так как 
то 
По теореме Пифагора в треугольнике 
аналогичные обозначения введём для остальных рёбер.
и 
Заметим, что отрезок 
средняя линия в треугольнике 
значит, он равен половине ребра 
по длине и параллелен этому ребру. Но то же самое можно сказать и про ребро 
значит, эти отрезки параллельны и равны, т. е. образуют параллелограмм. Таким образом, четыре вершины, которые должны образовывать правильный тетраэдр, оказались лежащими в одно й плоскости. 
и 
—
а значит, подобен ему с коэффициентом 
откуда 
Кроме того, 
и 
так как 
и 
средние линии в треугольниках ABD и ACD соответственно. 
(и, очевидно, треугольника 
—
в то же время 
составляет 
от медианы треугольника 
Кроме того, они перпендикулярны, так как 
На рёбрах AC, BC, BS, AS правильной треугольной пирамиды SABC с вершиной S выбраны
точки K, L, M, N соответственно. Известно, что точки K, L, M, N лежат в одной плоскости, причём 
В четырёхугольнике KLMN расположены две окружности 
и 
причём окружность касается сторон KN, KL и LM, а окружность 
касается сторон KN, LM и MN. Прямые круговые конусы 
и 
с основаниями и соответственно расположены внутри данной пирамиды, причём вершина P конуса лежит на ребре AB, а вершина Q конуса лежит на
а) Найдите 
б) Найдите длину отрезка CQ.
и 
равны 1.
содержащей ребро 
и середину AB. Тогда и конусы 
и 
также симметричны относительно этой плоскости. Поэтому P — середина AB. 
—
Более того, XY и SC — параллельны, то есть треугольники PCS и PXY подобны. 
и 
Тогда 
и 
Поскольку 
из подобия получаем 
то есть 
перпендикулярна XY, причём 
откуда 
Значит, 
и из подобия имеем 
и 
Пусть 
и XY — перпендикулярны, то 
— прямоугольник, так что 
Отсюда 
б) 
На рёбрах AC, BC, BS, AS правильной треугольной пирамиды SABC с вершиной S выбраны точки K, L, M, N соответственно. Известно, что точки K, L, M, N лежат в одной плоскости, причём 
В четырёхугольнике KLMN расположены две окружности и причём окружность касается сторон KN, KL и LM, а окружность касается сторон KN, LM и MN. Прямые круговые конусы и с основаниями и соответственно расположены внутри данной пирамиды, причём вершина P конуса лежит на ребре AB, а вершина Q конуса лежит
а) Найдите
б) Найдите длину отрезка CQ.
из подобия получаем 
откуда 
Значит, 
и из подобия имеем 
и 
Пусть 
и 
— прямоугольник, так что 
Отсюда 
б) 