В трапеции ABCD с основаниями AD = 12 и BC = 8 окружности, построенные на сторонах AB, BC и CD как на диаметрах, пересекаются в одной точке. Длина диагонали AC равна 12. Найдите длину BD.
Решение.
Обозначим точку пересечения трех окружностей за О. Тогда так как окружности построены на сторонах трапеции AB, BCи CD как на диаметрах, то углы и — прямые, следовательно, точки A, O, C лежат на одной прямой и точки B, O, D лежат на одной прямой, то есть O — точка пересечения диагоналей трапеции.
Обозначим середины сторон AB, BC и CD за K, L и M соответственно. Так как KL и LM — средние линии в треугольниках ABC и BCD, и Значит, то есть треугольник KLM — прямоугольный. Кроме того, а
значит, по теореме Пифагора, Отсюда
Вместо рассуждений со средними линиями можно рассмотреть треугольники и которые подобны с коэффициентом Так как то По теореме Пифагора в треугольнике находим
—
и 
Значит, 
то есть треугольник 
а 
Отсюда 
и 
которые подобны с коэффициентом 
Так как 
то 
По теореме Пифагора в треугольнике 
