сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В тра­пе­ции ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD = 12 и BC = 8 окруж­но­сти, по­стро­ен­ные на сто­ро­нах AB, BC и CD как на диа­мет­рах, пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке. Длина диа­го­на­ли AC равна 12. Най­ди­те длину BD.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим точку пе­ре­се­че­ния трех окруж­но­стей за О. Тогда так как окруж­но­сти по­стро­е­ны на сто­ро­нах тра­пе­ции AB, BC и CD как на диа­мет­рах, то углы \angle A O B, \angle B O C и \angle C O D  — пря­мые, сле­до­ва­тель­но, точки A, O, C лежат на одной пря­мой и точки B, O, D лежат на одной пря­мой, то есть O  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей тра­пе­ции.

Обо­зна­чим се­ре­ди­ны сто­рон AB, BC и CD за K, L и M со­от­вет­ствен­но. Так как KL и LM  — сред­ние линии в тре­уголь­ни­ках ABC и BCD, K L \| A C и L M \| B D. Зна­чит, K L \perp L M, то есть тре­уголь­ник KLM  — пря­мо­уголь­ный. Кроме того, K L= дробь: чис­ли­тель: A C, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =6, а

K M= дробь: чис­ли­тель: A D плюс B C, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =10,

зна­чит, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, L M=8. От­сю­да B D=2 L M=16.

Вме­сто рас­суж­де­ний со сред­ни­ми ли­ни­я­ми можно рас­смот­реть тре­уголь­ни­ки B O C и A O D, ко­то­рые по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том 8: 12=2: 3. Так как A C=12, то O C= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби A C= дробь: чис­ли­тель: 24, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби . По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке B O C на­хо­дим

O B= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 8 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус дробь: чис­ли­тель: 24 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 5 в квад­ра­те конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 32, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

От­сю­да

B D= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби O B= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 32, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби =16.

Ответ: 16.


Аналоги к заданию № 728: 736 Все