Обо­зна­чим вер­ши­ны тет­ра­эд­ра A, B, C, D. Се­ре­ди­ну ребра AB обо­зна­чим за ана­ло­гич­ные обо­зна­че­ния введём для осталь­ных рёбер.

Пусть в пра­виль­ный тет­ра­эдр не по­па­ли се­ре­ди­ны скре­щи­ва­ю­щих­ся рёбер ис­ход­но­го тет­ра­эд­ра, не ума­ляя общ­но­сти, можно счи­тать, что это и За­ме­тим, что от­ре­зок сред­няя линия в тре­уголь­ни­ке BCD, зна­чит, он равен по­ло­ви­не ребра CD по длине и пар ал­ле­лен этому ребру. Но то же самое можно ска­зать и про ребро зна­чит, эти от­рез­ки па­рал­лель­ны и равны, т. е. об­ра­зу­ют па­рал­ле­ло­грамм. Таким об­ра­зом, че­ты­ре вер­ши­ны, ко­то­рые долж­ны об­ра­зо­вы­вать пра­виль­ный тет­ра­эдр, ока­за­лись ле­жа­щи­ми в одной плос­ко­сти.

Зна­чит, в пра­виль­ный тет­ра­эдр не по­па­ли се­ре­ди­ны со­сед­них рёбер тет­ра­эд­ра, не ума­ляя общ­но­сти, можно счи­тать, что это и Тре­уголь­ник   — cере­дин­ный тре­уголь­ник тре­уголь­ни­ка а зна­чит, по­до­бен ему с ко­эф­фи­ци­ен­том от­ку­да Кроме того, и так как и сред­ние линии в тре­уголь­ни­ках ABD и ACD со­от­вет­ствен­но.

Оста­лось найти длину ребра AD. Пусть X  — точка пере се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка ABC (и, оче­вид­но, тре­уголь­ни­ка тоже). Тогда   — вы­со­та пра­виль­но­го тет­ра­эд­ра с реб­ром то есть равна в то же время со­став­ля­ет от ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка ABC, то есть Kpoме того, они пер­пен­ди­ку­ляр­ны, так как вы­со­та тет­ра­эд­ра и пер­пен­ди­ку­ляр­на всей плос­ко­сти ABC, сле­до­ва­тель­но, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Hy a

Ответ: пять рёбер длины 1, одно ребро длины