В четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке 
Известно, что 
Найдите синус угла между диагоналями этого четырехугольника, если его площадь принимает наименьшее возможное значение при данных условиях.
Докажем, что четырехугольник ABCD — параллелограмм. Пусть 
— отрезки, на которые диагонали делятся их точкой пересечения. Обозначим угол между диагоналями через 
По условию площади треугольников ABO и CDO равны, то есть 
Отсюда 
и, следовательно, треугольники BOC и AOD подобны по первому признаку подобия: две стороны 
и 
треугольника BOC пропорциональны двум сторонам 
и 
треугольника AOD, а углы, образованные этими сторонами 
и 
равны. Пусть 
— коэффициент подобия треугольников BOC и 
Обозначим через S площади треугольников ABO и CDO (по условию 
Тогда 
и 
В итоге, площадь четырехугольника ABCD может быть представлена в виде:
Известно, что для 
минимальное значение выражения 
достигается при 
Значит, 
и 
то есть диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, поэтому ABCD — параллелограмм. Его площадь 
Для нахождения синуса угла между диагоналями воспользуемся тем, что площадь четырехугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними:
(1)
Чтобы найти длины диагоналей, вычислим сторону CD, записав формулу для площади параллелограмма
Теперь найдем диагонали AC и BD по теореме косинусов из треугольников ADC и 
Подставив найденные значения в соотношение (1), получим 
Ответ: 