Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Касательная l к окружности, вписанной в ромб, пересекает его стороны AB и BC в точках E и F соответственно. Докажите, что произведение AE∙FC не зависит от выбора касательной l.
Решение.
Пусть q = BK, p = AK, x = EK, y = FL (K и L — точки касания вписанной окружности со сторонами AB и BC) и 
Докажем, что 
не зависит от x и y.
Рассмотрим треугольник EBF, в котором EB = q − x, BF = q − y, EF = x + y. Применим теорему косинусов:
откуда 
Так как 
получаем:
Что и требовалось доказать.
Другое решение:
Заметим, что треугольник AEO подобен треугольнику COF. Значит, 
Что и требовалось доказать.