Всего: 44 1–20 | 21–40 | 41–44
Добавить в вариант
Ребро A1A параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 перпендикулярно его грани ABCD. Сфера 
касается рёбер BB1, B1C1, C1C, CB, CD, и при этом касается ребра CD в такой точке K, что 
а) Найдите длину ребра A1A.
б) Пусть дополнительно известно, что сфера касается ребра A1D1. Найдите объём параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 и радиус сферы 
и ABCD — перпендикулярны, поэтому 
является прямоугольником. В этот прямоугольник можно вписать окружность (сечение сферы плоскостью 
значит, эта грань является квадратом. Пусть F — точка касания данной сферы с ребром BC. Отрезки CK и CF равны как касательные к сфере, проведённые из одной точки. Кроме того, окружность, вписанная в квадрат, касается его сторон в их серединах. Следовательно, F — середина BC и 
Значит, если сфера касается одного из этих рёбер, то она касается и второго. Обозначим точку касания сферы с рёбрами AD через M, а окружность, получающуюся в сечении сферы плоскостью ABCD, 
прямоугольный, 
—Ребро A1A параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 перпендикулярно его грани ABCD. Сфера касается рёбер BB1, B1C1, C1C, CB, C1D1, и при этом касается ребра C1D1 в такой точке K, что 
а) Найдите длину ребра A1A.
б) Пусть дополнительно известно, что сфера касается ребра AD. Найдите объём параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 и радиус сферы
значит, эта грань является квадратом. Пусть F — точка касания данной сферы с ребром 
Отрезки 
и 
равны как касательные к сфере, проведённые из одной точки. Кроме того, окружность, вписанная в квадрат, касается его сторон в их серединах. Следовательно, F — середина 
и 
Значит, если сфера касается одного из этих рёбер, то она касается и второго. Обозначим точку касания сферы с рёбрами 
через M, а окружность, получающуюся в сечении сферы плоскостью 
прямоугольный, 
равна 
На ребре BC параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 выбрана точка M. Сфера, построенная на отрезке C1M как на диаметре, касается плоскостей четырёх граней параллелепипеда, причём одной из них в точке, лежащей на ребре B1B. Известно, что 
Найдите длину ребра AA1, радиус сферы и объём параллелепипеда.
—
то сфера этой грани не касается. Заметим, что если отрезок 
и 
(касание означало бы, что 
и отсюда следовало бы, что плоскости 
и 
притом последней в точке, лежащей на ребре 
Противоположные стороны параллелограмма равны, следовательно, 
находим, что 
тогда высота равна радиусу сферы (т. к. центр сферы лежит в грани 
Площадь основания равна 
На ребре BC параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 выбрана точка M. Сфера, построенная на отрезке C1M как на диаметре, касается плоскостей четырёх граней параллелепипеда, причём одной из них в точке, лежащей на ребре B1B. Известно, 
Найдите длину ребра AA1, радиус сферы и объём параллелепипеда.
и 
Значит, 
Дана правильная призма ABCDA1B1C1D1 с основанием ABCD. Плоскости 
и 
перпендикулярны B1D и проходят через вершины A и D1 соответственно. Пусть F и H соответственно — точки пересечения плоскостей 
и с диагональю B1D, при 
а) Найдите отношение B1H : DF.
б) Пусть дополнительно известно, что некоторая сфера радиуса 3 касается всех боковых граней призмы, а
также плоскостей и 
Найдите отрезок B1D и объём призмы ABCDA1B1C1D1.
плоскость 
и DF — проекции параллельных отрезков 
и DO на прямую 
причём 
Значит, 
Кроме того, 
поэтому 
Обозначим 
Поскольку 
—
то 
Тогда 
и 
откуда 
и 
(поскольку 
Наконец, высота призмы равна 
Дана правильная призма KLMNK1L1M1N1 с основанием KLMN. Плоскости и 
перпендикулярны L1N и проходят через вершины K и N1 соответственно. Пусть A и B соответственно — точки пересечения плоскостей и с диагональю L1N, при этом AN < BN.
а) Найдите отношение L1B : AN.
б) Пусть дополнительно известно, что некоторая сфера радиуса 
касается всех боковых граней призмы, а также плоскостей и 
Найдите отрезок L1N и объём призмы KLMNK1L1M1N1.
плоскость 
и AN — проекции параллельных отрезков 
и NO на прямую 
причём 
Значит, 
Кроме того, 
перпендикулярен α, этим расстоянием является отрезок AB, поэтому 
Поскольку 
—
то 
Тогда 
откуда 
то есть 
поскольку 
Наконец, высота призмы равна 
Дана прямая треугольная призма ABCA1B1C1. Сфера с диаметром BC пересекает рёбра AC и AB соответственно в точках P и Q, отличных от вершин призмы. Отрезки B1P и C1Q пересекаются в точке T, и при этом 
а) Найдите угол TPA.
б) Найдите отношение AP : CP.
в) Пусть дополнительно известно, что AC = 3. Найдите объём призмы.
(т. е. BP и CQ — высоты треугольника ABC). Прямая BP — это проекция прямой TP на плоскость основания, при этом BP перпендикулярна PA. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах TP перпендикулярна PA, т. е. 
и 
пересекаются, то все четыре точки 
и Q лежат в одной плоскости (назовём её α). Значит, прямые PQ и 
Значит, PQ и BC — параллельны. Трапеция PQBC вписана в окружность, следовательно, она равнобокая, тогда углы при её основании BC равны, и поэтому треугольник 
равнобедренный 
и PQT подобны по двум углам. Из равенства треугольников 
и 
следует, что 
поэтому оба треугольника 
соответственно. Значит, 
то 
объём призмы равен 
Высота правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 12. Сфера радиуса 
касается всех боковых граней призмы. На отрезках AA1 и BB1 выбраны соответственно точки K и L такие, что KL и AB — параллельны, а плоскости KBC и LA1C1 касаются сферы Найдите объём призмы и длину отрезка AK.
Значит, сторона основания равна 
площадь основания 
лежат на отрезках LQ и 
где точки Q и 
— середины ребер AC и 
Обозначим центр окружности 
получающейся в сечении сферы данной плоскостью, через O, а точки касания отрезков 
с окружностью — G, P и J соответственно. Высота LH треугольника 
равна высоте треугольника, лежащего в основании призмы, то есть 
треугольника 
и 
Следовательно, 
Обозначим 
тогда 
Тогда формула Герона даёт, что 
откуда 
следовательно, 
или 
или 
а так как 
или 
Остаётся заметить, что 
или 
Высота правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 6. Сфера радиуса 
касается всех боковых граней призмы. На отрезках AA1 и BB1 выбраны соответственно точки M и K такие, что KM и AB — параллельны, а плоскости ACK и MB1C1 касаются сферы 
Найдите объём призмы и длину отрезка BK.
площадь основания 
Из того, что призма правильная, а сфера касается всех её граней, следует, что плоскость 
также касается сферы; при этом точки касания сферы с плоскостями 
и 
и 
где точки Q и 
и KQ с окружностью — G, J и P соответственно. Высота 
треугольника 
равна высоте треугольника, лежащего в основании призмы, то есть 
и 
Следовательно, 
Обозначим 
Тогда формула Герона даёт, что 
откуда 
следовательно, 
или 
Тогда 
или 
а так как 
или 
Два шара касаются плоскости треугольника ABC в точках A и B и расположены по разные стороны от этой плоскости. Сумма радиусов данных шаров равна 7, а расстояние между их центрами равно 13. Центр третьего шара радиуса 5 находится в точке C, и он касается внешним образом каждого из двух первых шаров. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
и 
—
—
—
и 
Пусть также 
и 
Из треугольников 
и 
по теореме Пифагора получаем 
Два шара касаются плоскости треугольника ABC в точках B и C и расположены по разные стороны от этой плоскости. Сумма радиусов данных шаров равна 7, а расстояние между их центрами равно 17. Центр третьего шара радиуса 8 находится в точке A, и он касается внешним образом каждого из двух первых шаров. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
В основании четырёхугольной ABCDA1B1C1D1 призмы лежит ромб ABCD, в котором AC = 4 и угол 
Сфера проходит через вершины D, A, B, B1, C1, D1.
а) Найдите площадь круга, полученного в сечении сферы плоскостью, проходящей через точки B, C и D.
б) Найдите угол A1CD.
в) Пусть дополнительно известно, что радиус сферы равен 5. Найдите объём призмы.
как радиусы сферы). Значит, 
поэтому H — центр окружности, описанной около треугольника ABD, т. е. точка H совпадает с точкой C. Таким образом, отрезок 
перпендикулярен плоскости основания 
Аналогично доказывается, что отрезок 
перпендикулярен плоскости 
Итак, диагональ 
является высотой призмы, а центр сферы O — это её середина. Поэтому 
известны гипотенуза 
и катет 
Значит, 
В основании четырёхугольной ABCDA1B1C1D1 призмы лежит ромб ABCD, в котором 
и угол 
Сфера проходит через вершины D, C, B, B1, A1, D1.
а) Найдите площадь круга, полученного в сечении сферы плоскостью, проходящей через точки A, C и D.
б) Найдите угол A1CD.
в) Пусть дополнительно известно, что радиус сферы равен 5. Найдите объём призмы.
как радиусы сферы). Значит, 
поэтому H — центр окружности, описанной около треугольника CBD, т. е. точка H совпадает с точкой C. 
перпендикулярен плоскости 
является высотой призмы, а центр сферы O — это её середина. Поэтому 
и катет 
Значит, 
На столе стоят на основаниях три конуса, касаясь друг друга. Радиусы их оснований равны 1, 4 и 4, углы при 
и 
соответственно (углом при вершине конуса называется угол между его образующими в осевом сечении). На стол положили шар, касающийся всех конусов. Найдите радиус шара.
точка касания шара со столом, 2α и 2β — углы при вершине первого и второго конусов. На верхнем рисунке показано сечение первого конуса плоскостью COO1, Касание шара с первым конусом означает, что перпендикуляр OE, опущенный из точки O на образующую PB, равен R. Действительно, в этом случае шар и конус касаются плоскости, проходящей через образующую PB перпендикулярно сечению, и лежат по разные стороны от нее. Поэтому шар касается прямых BC и BE в точках C и E, откуда 
и
и 
или 
Необходимо, чтобы шар касался образующих конусов, а не их продолжений за вершину. Это означает, что 
и 
Первое условие эквивалентно 
Второе условие приводится к неравенству 
На столе стоят на основаниях три конуса, касаясь друг друга. Радиусы их оснований равны 32, 48 и 48, углы при вершине — 
и 
соответственно (углом при вершине конуса называется угол между его образующими в осевом сечении). Над столом подвесили шар, касающийся всех конусов. Оказалось, что центр шара равноудален от центров оснований всех конусов. Найдите радиус шара.
На столе стоят на основаниях три конуса, касаясь друг друга. Высоты у конусов одинаковые, а радиусы их оснований
и 
треугольник O1O2O3 является прямоугольным. В силу условия точка C равноудалена от точек касания оснований конусов. Тогда C лежит на пересечении биссектрис треугольника O1O2O3 и, значит, является центром его вписанной окружности, радиус которой равен 1. Вычисляя 
и 
двумя способами, мы получим 
B силу равенства высот конусов справедливо соотношение 
Поэтому 
Исключая 
мы получим 
откуда 
и 
Заметим, что 
и по теореме Пифагора 
На столе лежат шары радиусов 2, 2, 1, касаясь друг друга внешним образом. Вершина конуса находится посередине между точками касания одинаковых шаров со столом, а сам конус касается внешним образом всех шаров. Найдите угол при вершине конуса. Углом при вершине конуса называется угол между его образующими в осевом сечении.
и 
Из условия касания шаров 
и
откуда 
попадает на отрезок O1O2 (см. верхний рисунок). Образующие, по которым конус касается одинаковых шаров, лежат в плоскостях KCO1 и KCO2, откуда 
Отметим несколько простых фактов. 
Так как отрезок KH перпендикулярен стороне O1O2, мы получим 
На столе лежат два шара радиусов 4 и 1 с центрами O1 и O2, касаясь друг друг внешним образом. Конус касается боковой поверхностью стола и обоих шаров (внешним образом). Вершина C конуса находится на отрезке, соединяющем точки касания шаров со столом. Известно, что лучи CO1 и CO2 образуют равные углы со столом. Найдите угол при вершине конуса. Углом при вершине конуса называется угол между его образующими в осевом сечении.
Заметим, что точки O1, O2, A1, A2, C лежат в одной плоскости, поскольку O1A1 и O2A2 параллельны, а C принадлежит отрезку A1A2. Тогда 
Отметим несколько простых фактов. 
откуда 
и из 3) вытекает, что 
Поэтому 
