Ребро A1A параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 перпендикулярно его грани ABCD. Сфера 
касается рёбер BB1, B1C1, C1C, CB, CD, и при этом касается ребра CD в такой точке K, что 
а) Найдите длину ребра A1A.
б) Пусть дополнительно известно, что сфера касается ребра A1D1. Найдите объём параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 и радиус сферы 
а) Из условия следует, что 
и ABCD — перпендикулярны, поэтому перпендикулярна BC и грань 
является прямоугольником. В этот прямоугольник можно вписать окружность (сечение сферы плоскостью 
значит, эта грань является квадратом. Пусть F — точка касания данной сферы с ребром BC. Отрезки CK и CF равны как касательные к сфере, проведённые из одной точки. Кроме того, окружность, вписанная в квадрат, касается его сторон в их серединах. Следовательно, F — середина BC и
Боковые рёбра параллелепипеда равны между собой, а — квадрат, значит,
б) Центр сферы расположен на прямой, перпендикулярной плоскости квадрата и проходящей через его центр, поэтому он равноудалён от прямых AD и 
Значит, если сфера касается одного из этих рёбер, то она касается и второго. Обозначим точку касания сферы с рёбрами AD через M, а окружность, получающуюся в сечении сферы плоскостью ABCD, 
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому
Таким образом, треугольник 
прямоугольный, 
Площадь параллелограмма ABCD равна
объём параллелепипеда равен
Пусть Q — центр сферы. Тогда QK — её радиус; при этом треугольник OKQ прямоугольный. Отсюда
Ответ: 
—