РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1217 Добавить в вариант

Олимпиада школьников Физтех, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Геометрия: стереометрия. Многогранники, Геометрия: стереометрия. Сфера, шар, комбинации шаров

Ребро A₁A параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ перпендикулярно его грани ABCD. Сфера $\Omega$   касается рёбер BB₁, B₁C₁, C₁C, CB, C₁D₁, и при этом касается ребра C₁D₁ в такой точке K, что $C_1K=9,$ $KD_1=4.$

а)  Найдите длину ребра A₁A.

б)  Пусть дополнительно известно, что сфера $\Omega$ касается ребра AD. Найдите объём параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ и радиус сферы $\Omega.$

Решение.

а)  Из условия следует, что $B B_1$ перпендикулярна ABCD, поэтому $B B_1$ перпендикулярна BC и грань $B C C_1 B_1$ является прямоугольником. В этот прямоугольник можно вписать окружность (сечение сферы плоскостью $B C C_1 B_1 правая круглая скобка ,$ значит, эта грань является квадратом. Пусть F  — точка касания данной сферы с ребром $B_1 C_1.$ Отрезки $C_1 K$ и $C_1 F$ равны как касательные к сфере, проведённые из одной точки. Кроме того, окружность, вписанная в квадрат, касается его сторон в их серединах. Следовательно, F  — середина $B_1 C_1$ и

$B_1 C_1=2 умножить на C_1 F=2 умножить на C_1 K=18.$

Боковые рёбра параллелепипеда равны между собой, а $B C C_1 B_1$   — квадрат, значит,

$A A_1=C C_1=B_1 C_1=18.$

б)  Центр сферы расположен на прямой, перпендикулярной плоскости квадрата $B C C_1 B_1$ и проходящей через его центр, поэтому он равноудалён от прямых AD и $A_1 D_1.$ Значит, если сфера касается одного из этих рёбер, то она касается и второго. Обозначим точку касания сферы с рёбрами $A_1 D_1$ через M, а окружность, получающуюся в сечении сферы плоскостью $A_1 B_1 C_1 D_1,$ через ω. Пусть O  — центр ω.

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому

$\angle O C_1 D_1 плюс$ $\angle O D_1 C_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка \angle F C_1 D_1 плюс \angle M D_1 C_1 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Таким образом, треугольник $O C_1 D_1$ прямоугольный,

$O K= корень из: начало аргумента: C_1 конец аргумента K умножить на D_1 K=6.$

Площадь параллелограмма $A_1 B_1 C_1 D_1$ равна

$B_1 C_1 умножить на F M=2 умножить на C_1 F умножить на 2 умножить на O K=2 умножить на 9 умножить на 12=216.$

объём параллелепипеда равен

$A A_1 умножить на S_A_1 B_1 C_1 D_1=18 умножить на 216=3888.$

Пусть Q  — центр сферы. Тогда QK  — её радиус; при этом треугольник OKQ прямоугольный. Отсюда

$Q K= корень из: начало аргумента: O K в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс O Q в квадрате правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: O K в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби A A_1 правая круглая скобка в квадрате =3 корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента .$

Ответ: $A_1A=18,$ $V=3888,$ $R=3 корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента .$

Критерии проверки:

а) Доказано, что одна из боковых граней призмы — квадрат — 1 балл.

Найдено ребро $A A_1$  — 1 балл.

б) Задача решается для прямоугольного параллелепипеда — 0 баллов за пункт 6).

Найден радиус сферы — 2 балла.

Найден объём призмы — 2 балла.

Ответ: $A_1A=18,$ $V=3888,$ $R=3 корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента .$

Аналоги к заданию № 1210: 1217 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе