РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1231 Добавить в вариант

На ребре BC параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ выбрана точка M. Сфера, построенная на отрезке C₁M как на диаметре, касается плоскостей четырёх граней параллелепипеда, причём одной из них в точке, лежащей на ребре B₁B. Известно, что $BM= 1$ и $CM= 15.$ Найдите длину ребра AA₁, радиус сферы и объём параллелепипеда.

Спрятать решение

Решение.

Так как центр сферы  — середина отрезка $C_1 M$   — лежит в грани $B C C_1 B_1,$ то сфера этой грани не касается. Заметим, что если отрезок $C_1 M$ не перпендикулярен плоскостям ABCD и $A_1 B_1 C_1 D_1,$ то сфера их не касается, что невозможно, так как по условию сфера касается плоскостей четырёх граней параллелепипеда. Отметим далее, что сфера не может касаться грани $C C_1 D_1 D$ (касание означало бы, что $M C_1$ и $C C_1 D_1 D$   — перпендикулярны, отсюда следовало бы, что плоскости $C C_1 D_1 D$ и $A_1 B_1 C_1 D_1$ совпадают). Значит, сфера касается граней ABCD, $A_1 B_1 C_1 D_1,$ $A A_1 D_1 D$ и $A B B_1 A_1,$ притом последней в точке, лежащей на ребре $B B_1$ (обозначим её T).

Рассмотрим параллелограмм $B B_1 C_1 C .$ Противоположные стороны параллелограмма равны, следовательно,

$B_1 C_1=B C=B M плюс M C=1 плюс 15=16.$

Используя равенство касательных, проведённых к окружности из одной точки, находим, что $B_1 T=B_1 C_1=16,$ $B T=B M=1.$ Значит,

$C C_1=B B_1=B T плюс T B_1=17.$

По теореме Пифагора для треугольника $C C_1 M$ находим, что

$C_1 M= корень из: начало аргумента: C C_1 конец аргумента в квадрате минус C M в квадрате =8,$

откуда радиус сферы равен 4.

Объём параллелепипеда V равен произведению площади его основания на высоту. В качестве основания выберем $B C C_1 B_1;$ тогда высота равна радиусу сферы (т. к. центр сферы лежит в грани $B C C_1 B_1$ и она касается грани $A A_1 D_1 D правая круглая скобка .$ Площадь основания равна