На ребре BC параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 выбрана точка M. Сфера, построенная на отрезке C1M как на диаметре, касается плоскостей четырёх граней параллелепипеда, причём одной из них в точке, лежащей на ребре B1B. Известно, что 
Найдите длину ребра AA1, радиус сферы и объём параллелепипеда.
Так как центр сферы — середина отрезка 
—
то сфера этой грани не касается. Заметим, что если отрезок не перпендикулярен плоскостям 
и 
то сфера их не касается, что невозможно, так как по условию сфера касается плоскостей четырёх граней параллелепипеда. Отметим далее, что сфера не может касаться грани 
(касание означало бы, что 
и отсюда следовало бы, что плоскости и 
совпадают). Значит, сфера касается граней ABCD, 
и 
притом последней в точке, лежащей на ребре 
(обозначим её T).
Рассмотрим параллелограмм 
Противоположные стороны параллелограмма равны, следовательно,
Используя равенство касательных, проведённых к окружности из одной точки, находим, что
Значит,
По теореме Пифагора для треугольника 
находим, что
откуда радиус сферы равен 5.
Объём параллелепипеда V равен произведению площади его основания на высоту. В качестве основания выберем 
тогда высота равна радиусу сферы (т. к. центр сферы лежит в грани 
и она касается грани 
Площадь основания равна
Следовательно, 
Ответ: 
