В основании четырёхугольной ABCDA1B1C1D1 призмы лежит ромб ABCD, в котором AC = 4 и угол 
Сфера проходит через вершины D, A, B, B1, C1, D1.
а) Найдите площадь круга, полученного в сечении сферы плоскостью, проходящей через точки B, C и D.
б) Найдите угол A1CD.
в) Пусть дополнительно известно, что радиус сферы равен 5. Найдите объём призмы.
а) Так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов, получаем, что острый угол ромба равен 60°. В сечении шара плоскостью BCD получаем круг, описанный около треугольника ABD. Центром этого круга является точка C, а его радиус равен стороне ромба, то есть 4. Значит, площадь равна 
б) Пусть O — центр шара. Опустим из точки O перпендикуляр OH на плоскость ABCD. Тогда треугольники OHA, OHB и OHD равны по катету и гипотенузе (OH — общая, 
как радиусы сферы). Значит, 
поэтому H — центр окружности, описанной около треугольника ABD, т. е. точка H совпадает с точкой C. Таким образом, отрезок 
перпендикулярен плоскости основания 
Аналогично доказывается, что отрезок 
перпендикулярен плоскости 
Итак, диагональ 
является высотой призмы, а центр сферы O — это её середина. Поэтому 
в) В прямоугольном треугольнике 
известны гипотенуза 
и катет 
Значит,
Ответ: 
