По­сколь­ку сфера ра­ди­у­са r ка­са­ет­ся всех бо­ко­вых гра­ней приз­мы, то в ос­но­ва­ния приз­мы можно впи­сать окруж­но­сти того же са­мо­го ра­ди­у­са Зна­чит, сто­ро­на ос­но­ва­ния равна пло­щадь ос­но­ва­ния

объём приз­мы равен

Из того, что приз­ма пра­виль­ная, а сфера ка­са­ет­ся всех её гра­ней, сле­ду­ет, что плос­кость LAC также ка­са­ет­ся сферы; при этом точки ка­са­ния сферы с плос­ко­стя­ми LAC и лежат на от­рез­ках LQ и где точки Q и   — се­ре­ди­ны ребер AC и

Рас­смот­рим плос­кость пря­мо­уголь­ни­ка Обо­зна­чим центр окруж­но­сти по­лу­ча­ю­щей­ся в се­че­нии сферы дан­ной плос­ко­стью, через O, а точки ка­са­ния от­рез­ков LQ и с окруж­но­стью  — G, P и J со­от­вет­ствен­но. Вы­со­та LH тре­уголь­ни­ка равна вы­со­те тре­уголь­ни­ка, ле­жа­ще­го в ос­но­ва­нии приз­мы, то есть

За­пи­шем пло­щадь тре­уголь­ни­ка двумя спо­со­ба­ми: и

где p  — по­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка Сле­до­ва­тель­но, Обо­зна­чим тогда

Зна­чит, Тогда фор­му­ла Ге­ро­на даёт, что от­ку­да

Под­став­ляя зна­че­ние ра­ди­у­са из усло­вия, по­лу­ча­ем урав­не­ние сле­до­ва­тель­но, или

Тогда или а так как

то или Остаётся за­ме­тить, что

Ответ: или