РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1650 Добавить в вариант

Два шара касаются плоскости треугольника ABC в точках A и B и расположены по разные стороны от этой плоскости. Сумма радиусов данных шаров равна 7, а расстояние между их центрами равно 13. Центр третьего шара радиуса 5 находится в точке C, и он касается внешним образом каждого из двух первых шаров. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

Спрятать решение

Решение.

Пусть $O_1$ и $O_2$   — центры, а $r_1$ и $r_2$   — радиусы шаров, касающихся плоскости ABC в точках B и A соответственно, $r_3=5$   — радиус третьего шара. По условию $r_1 плюс r_2=r=7$ и $O_1 O_2=d=13 .$ Пусть также $A B=c,$ $B C=a$ и $A C=b .$ Из треугольников $O_1 B C$ и $O_2 A C$ по теореме Пифагора получаем

$левая круглая скобка r_3 плюс r_1 правая круглая скобка в квадрате =r_1 в квадрате плюс a в квадрате ,$ $\quad левая круглая скобка r_3 плюс r_2 правая круглая скобка в квадрате =r_2 в квадрате плюс b в квадрате ,$

откуда

$a в квадрате плюс b в квадрате =2 r_3 в квадрате плюс 2 левая круглая скобка r_1 плюс r_2 правая круглая скобка r_3.$

Используя расположение точек O₁, B, A и O₂, находим

$левая круглая скобка r_1 плюс r_2 правая круглая скобка в квадрате плюс c в квадрате =d в квадрате .$

Следовательно,

$a в квадрате плюс b в квадрате минус c в квадрате =2 r_3 в квадрате плюс 2 левая круглая скобка r_1 плюс r_2 правая круглая скобка r_3 плюс левая круглая скобка r_1 плюс r_2 правая круглая скобка в квадрате минус d в квадрате =2 умножить на 5 в квадрате плюс 2 умножить на 7 умножить на 5 плюс 7 в квадрате минус 13 в квадрате =0 .$

Значит, треугольник ABC прямоугольный, а радиус описанной вокруг него окружности равен половине гипотенузы, то есть

$R= дробь: числитель: c, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: d в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус левая круглая скобка r_1 правая круглая скобка плюс r_2 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: d в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус r в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби = корень из: начало аргумента: 30 конец аргумента \approx 5,48.$

Ответ: $корень из: начало аргумента: 30 конец аргумента \approx 5,48$

Аналоги к заданию № 1650: 1651 Все

Олимпиада школьников Ломоносов, 10, 11 класс, 1 тур (отборочный) 1 этап, 2019 год

Классификатор: Геометрия: стереометрия. Сфера, шар, комбинации шаров

Спрятать решение · Помощь