Дана правильная призма KLMNK1L1M1N1 с основанием KLMN. Плоскости 
и 
перпендикулярны L1N и проходят через вершины K и N1 соответственно. Пусть A и B соответственно — точки пересечения плоскостей и с диагональю L1N, при этом AN < BN.
а) Найдите отношение L1B : AN.
б) Пусть дополнительно известно, что некоторая сфера радиуса 
касается всех боковых граней призмы, а также плоскостей и 
Найдите отрезок L1N и объём призмы KLMNK1L1M1N1.
а) Из соображений симметрии (относительно плоскости 
плоскость 
проходит через точку M — и, значит, через центр O грани KLMN. Отрезки 
и AN — проекции параллельных отрезков 
и NO на прямую 
причём 
Значит, 
б) Поскольку сфера касается всех боковых граней призмы, её проекция на основание есть окружность, вписанная в это основание. Значит, 
Кроме того, и 
— это две параллельные плоскости, касающиеся сферы, поэтому расстояние между ними равно диаметру сферы, то есть единица. Так как 
перпендикулярен α, этим расстоянием является отрезок AB, поэтому 
Обозначим 
Поскольку 
—
то
и, следовательно, 
Тогда
Получаем уравнение 
откуда 
то есть 
поскольку 
Наконец, высота призмы равна
тогда объём призмы равен
Ответ: а) 2 : 1; б) 
