Всего: 72 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–72
Добавить в вариант
Пусть ABCD — вписанный четырехугольник, в котором стороны AB, BC, CD и AD таковы, что AB · BC = 2AD · DC. Докажите, что 
Пусть P — точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD. Опустим в треугольниках ABC и ADC на сторону AC высоты BM и DN соответственно. Тогда
Из подобия треугольников BMP и DNP следует, что 
откуда BD = 3DP.
По теореме о пересекающихся хордах получаем
откуда вытекает неравенство Заметим, что равенство достигается, если AP = PC.
| Критерии оценивания выполнения задания | Оценка | Баллы |
|---|---|---|
| Задача решена полностью. | + | 14 |
| Решение задачи, содержит верную общую схему решения, в котором отсутствуют некоторые обоснования или доказательство данного неравенства. | ± | 10 |
| Решение не завершено, но содержит значительное продвижение в верном направлении. | +/2 | 7 |
| Решение в целом неверное или незаконченное, но содержит определенное содержательное продвижение в верном направлении. | ∓ | 3 |
| Задача не решена, содержательных продвижений нет. | − | 0 |
| Задача не решалась. | 0 | 0 |
Одна сторона некоторого треугольника в два раза больше другой, а периметр этого треугольника равен 60, наибольшая его сторона в сумме с учетверенной наименьшей равна 71. Найдите стороны этого треугольника.
Обозначим через a, b, с стороны треугольника, без ограничения общности, будем считать, что 
Учитывая условие задачи, запишем систему уравнений:
Так как одна из сторон треугольника в 2 раза больше другой, то рассмотрим три возможных случая.
1) Если 
то 
Следовательно, не выполняется неравенство треугольника 
необходимое для существования треугольника.
2) Если 
то из второго условия системы находим 
тогда 
Затем находим значение b из первого уравнения 
откуда следует 
что противоречит, что 
3) Если 
то система запишется в виде:
Откуда 
Полученное решение удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ: 11, 22, 27.
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Замечание. За правильное решение, найденное подбором — 1 балл.
Равнобедренный треугольник с углом 
при вершине вписан в равносторонний треугольник со стороной 2 так, что эта вершина совпадает с серединой стороны равностороннего треугольника.
а) Найдите выражение для площади 
этого треугольника.
б) Покажите, что
в) Докажите, что 
а) Пусть изначальный треугольник имеет вершины A, B, C, а вписанный в него — вершины 
причем 
и 
По условию также 
то есть точки E, F лежат на окружности с центром в точке D. Такая окружность может пересекать стороны AB и BC один или два раза. Поэтому возможны два принципиально различных случая.
1) Скорее всего имелся в виду параллельность EF и AC. Тогда
треугольники AED и CFD равны по трем сторонам,
и
По теореме синусов для треугольника AED получаем
Значит
2) Прямые EF и AC параллельны. Опустим из D перпендикуляры DH и DK на AB и BC соответственно. Тогда одна из точек E и F попадет на отрезок соответственно AH и CK, а вторая — нет. Пусть, для определенности, 
Рассмотрим точку 
симметричную E относительно H. Тогда треугольники EDH и 
равны по двум катетам, 
и прямые E1F и AC параллельны. Обозначим также
тогда
откуда
Тогда
то есть второй случай возможен только при 
Далее,
поэтому 
и
поэтому определить ответ однозначно в этом случае невозможно. Можно лишь дать границы для ответ — 
и 
(в случае, когда 
получаем предыдущий случай, его ответ пришлось добавить, поэтому интервал полуоткрытый).
б) Обозначив через a боковую сторону равнобедренного треугольника (см. рис.), по теореме синусов
откуда 
и
в) Чтобы упростить исследование функции 
удобно сделать замену 
при 
откуда 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Дан равнобедренный треугольник с углом 
при вершине.
а) Докажите, что
где r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей соответственно.
б) При каком отношение 
принимает наибольшее значение?
в) Докажите, что в общем случае отношение принимает наибольшее значение для равносторонних треугольников.
а) Пусть a — длина основания данного треугольника (см. рис.). По теореме синусов
далее,
поэтому 
б) Исследуя найденную в предыдущем пункте функцию f, получим, что она принимает наибольшее значение при 
в) Имеем: 
здесь 
— периметр треугольника, так что
Далее,
причем равенство имеет место лишь в случае, когда 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Последовательности an , bn связаны соотношениями 
а) Пусть 
Положим
Докажите, что числа 
образуют геометрическую прогрессию.
б) Докажите, что пределы 
существуют и не зависят от выбора 
в) Лучи 
и 
лежат в первом координатном угле, причем луч образует угол 
с осью абсцисс, а — угол 
с осью ординат. Луч 
является биссектрисой угла между осью абсцисс и лучом 
а mn — биссектрисой угла между осью ординат и 
Вычислите с точностью до 0,01 угол между лучом 
и осью абсцисс.
а) Пусть Положим
Докажите, что числа образуют геометрическую прогрессию. Заметим, что 
поэтому
Итак, 
отличается от 
ровно в 4 раза. Тогда
Итак, 
отличается от 
ровно в 4 раза. Наконец 
и 
поэтому
и
А дальше при переходе к номеру, отличающемуся вдвое, выражения 
и 
уменьшатся вчетверо, значит, их квадраты — в 16 раз, сумма квадратов тоже в 16 раз, корень из нее — в 4 раза. То есть 
поэтому с четными и неучёными номерами образуют геометрические прогрессии со знаменателем 
а тогда (учитывая 
)
Докажите, что пределы существуют и не зависят от выбора Из решения пункта a следует, что 
и 
поэтому и последовательность 
образованная перемешиванием этих двух, стремится к нулю. Поэтому 
Аналогично 
в) Лучи и лежат в первом координатном угле, причем луч образует угол 
с осью абсцисс, а — угол 
с осью ординат. Луч является биссектрисой угла между осью абсцисс и лучом а mn — биссектрисой угла между осью ординат и Вычислите с точностью до 0,01 угол между лучом и осью абсцисс.
Обозначим за an угол между лучом и осью абсцисс, а за bn — угол между лучом mn и осью абсцисс, деленные 
и 
значит, эти последовательности удовлетворяют тем же соотношениям, которые использовались в первых пунктах. Поэтому
Поскольку все лучи, очевидно, лежат в первой четверти,
откуда 
с точностью 
а угол равен 
с точностью 
что и требовалось.
Ответ: 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Решите уравнение 
б) Числа 
выбираются случайным образом. Найдите вероятность того, что многочлен 
имеет действительные корни.
в) Докажите, что если a, b, c — длины сторон некоторого треугольника, то из отрезков длиной 
также можно составить треугольник.
г) Дан треугольник ABC. Докажите, что если 
то он либо равнобедренный, либо прямоугольный.
а)Обозначим 
тогда 
и уравнение примет вид
Иными словами, сумма расстояний от точки t до точек 1 и 3 на вещественной прямой равно 2, то есть расстоянию между точками 1 и 3, поэтому подходят все точки отрезка 
Ответ:
б) Можно считать, что 
(поскольку вероятность события 
равна нулю). Тогда необходимо и достаточно выполнения условия 
то есть 
Рассмотрим на координатной плоскость с координатами 
график функции 
и вычислим площадь заштрихованной части (см рисунок)
При этом площадь всей области, откуда выбираются p и q, равна 4. Поэтому искомая вероятность равна
Ответ: 
в) Докажите, что если a, b, c — длины сторон некоторого треугольника, то из отрезков длиной также можно составить треугольник.
Пусть c — самая большая сторона. По неравенству треугольника 
Проверим для самой большой из сторон 
неравенство треугольника 
Докажем последнее неравенство. Возводя его в n — ую степень, получим 
что очевидно — раскрывая скобки в правой части по формуле бинома Ньютона, получим 
где все не выписанные слагаемые положительны.
г) Преобразуем равенство
Поделим на 
получим
Поскольку A и B углы треугольника, 
Более того, если 
то 
а 
и равенство невозможно. Итак, 
Аналогично 
Тогда либо 
где 
и треугольник является равнобедренным; либо 
где 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Найдите все треугольники, длины сторон и величины углов которых образуют арифметические прогрессии.
б) Верно ли, что для всякой арифметической прогрессии из четырех положительных чисел существует выпуклый четырехугольник, длинами сторон которого являются эти числа?
в) Найдите все четырехугольники, длины сторон и углы которых (взятые в циклических порядках) образуют арифметические прогрессии.
а) Только равносторонние треугольники. Поскольку сумма углов треугольника равна 
то из того, что они образуют арифметическую прогрессию, следует, что средний из них равен 
Если a — длина стороны, противоположной этому углу, то длины остальных сторон треугольника — 
По формуле косинусов
откуда 
б) Решение очевидно, если использовать такое «геометрически очевидное» утверждение. Если 
и 
то существует замкнутая выпуклая ломаная, длины звеньев которой равны ai. Попробуйте дать какое-нибудь обоснование этого утверждения.
в) Квадраты и только они. Нетрудно видеть, что если углы четырехугольника образуют арифметическую прогрессию, то он — трапеция. Далее, если и длины его сторон образуют арифметическую прогрессию, то
(обозначения на рисунке; отрезок CK параллелен стороне AB), откуда следует, что 
Ответ: а) равностронние треугольники; б) да, верно; в) квадраты.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Высота трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна h. Какой может быть длина средней линии такой трапеции? Какова наименьшая возможная длина средней линии? Когда она получается?
Пусть x — средняя линия. Тогда
и минимальное значение 
получается при 
Ответ: и минимальное значение получается при
и минимальное значение получается при Докажите, что для катетов b, a и гипотенузы прямоугольного треугольника выполняется неравенство 
Пусть 
тогда
Известно, что 
значит.
Утверждение доказано.
Дан ABC — равнобедренный прямоугольный треугольник. Прямая a перпендикулярна его оси симметрии. Треугольник MNK симметричен треугольнику ABC относительно a. Как расположить прямую a так, чтобы площадь пересечения названных треугольников была наибольшей?
Эта задача — частный случай следующей задачи: В данный треугольник поместите центрально симметричный многоугольник наибольшей площади.
Пусть O — центр симметрии многоугольника M, расположенного внутри треугольника T, S(T) — образ треугольника T при симметрии относительно точки O. Тогда M лежит и в T, и в S(T). Поэтому среди всех центрально симметричных многоугольников с данным центром симметрии, лежащих в T, наибольшую площадь имеет пересечение T и S(T). Точка O лежит внутри треугольника T, так как пересечением T и S(T) является выпуклый многоугольник, а выпуклый многоугольник всегда содержит свой центр симметрии.
Пусть A1, B1 и 
Предположим сначала, что точка O лежит внутри треугольника A1B1C1. Тогда пересечением T и S(T) является шестиугольник.
Пусть сторона AB делится сторонами треугольника S(T) в отношении 
где 
Тогда отношение суммы площадей заштрихованных треугольников к площади треугольника ABC равно 
нужно минимизировать это выражение. Так как
то
причем равенство достигается только при 
последнее равенство означает, что O — точка пересечения медиан треугольника ABC.
Рассмотрим теперь другой случай: точка O лежит внутри одного из треугольников AB1C1, A1BC1, A1B1C, например внутри AB1C1. В этом случае пересечением T и S(T) является параллелограмм, причем если мы заменим точку O точкой пересечения прямых AO и B1C1, то площадь этого параллелограмма может только увеличиться. если же точка O лежит на стороне B1C1, то этот случай уже фактически был нами рассмотрен (нужно положить 
Искомым многоугольником является шестиугольник с вершинами в точках, делящих стороны треугольника на три равные части. Его площадь равна 
площади треугольника.
Ответ: прямая a должна проходить через точку пересечения медиан треугольника ABC и (MNK).
В остроугольном треугольнике ABC провели медиану AM, высоту AH и биссектрису AL. Оказалось, что точки B, H, L, M, C лежат на прямой BC именно в таком порядке, причем
Докажите, 
(А. Кузнецов)
Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, K — середина дуги BC. Из условия следует, что K лежит на прямой
треугольники 
и 
подобны и 
Решение 1. Середина P отрезка AK лежит на отрезке KL. Точка O лежит внутри треугольника ABC, точка P — снаружи, потому 
откуда 
чтд.
Решение 2. Достаточно проверить, что 
Для этого сравним острые углы 
и 
опирающиеся на эти хорды. Так как
достаточно сравнить 
и 
Для тангенсов этих углов очевидно неравенство
откуда и следует требуемое неравенство.
Решение 3. Преобразуем:
чтд.
Докажите, что расстояние между серединой стороны BC треугольника ABC и серединой дуги ABC его описанной окружности не меньше, чем 
Рассмотрим точку 
симметричную B относительно серединного перпендикуляра к отрезку AC. Тогда 
—
Заметим, что 
ибо 
Следовательно, 
С другой стороны,
Таким образом, 
что и требовалось.
На стороне AD выпуклого четырехугольника ABCD с острым углом B отмечена точка E. Известно, что
Докажите, что 
Обозначим через угол CAD и равные ему углы. Пусть 
—
—
Отсюда заключаем, что четырехугольник 
вписанный. Тогда
Значит, прямая 
проходит через точку E. В силу симметрии 
и тогда 
На хорду AD опирается острый вписанный угол ABD, величина которого равна 
а на хорду 
угол 
величина которого меньше 
Следовательно, 
Дан треугольник ABC. На его сторонах BC, CA и AB соответственно выбраны такие точки A1, B1 и C1, что четырехугольник AB1A1C1 является вписанным. Докажите, что
Продлим отрезок AA1 до пересечения с описанной окружностью треугольника ABC и обозначим точку пересечения через P. Из вписанности четырехугольников AB1A1C1 и ABPC имеем равенства углов:
и
Следовательно, треугольники A1B1C1 и PCB подобны по двум углам. Тогда
С другой стороны,
поскольку основания у них общие, а отношение высот равно отношению отрезков AA1 и PA1.
Таким образом,
Последнее неравенство после сокращений и домножения на знаменатели приводится к виду 
Но из подобия треугольников 
и 
следует, что 
Поэтому
Общая схема:
0 баллов — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;
1 балл — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);
2 балла — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;
3 балла — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;
4 балла — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.
Факторы, влияющие на оценку.
1. Одна из основных целей Олимпиады — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.
2. Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.
3. Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.
4. Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.
5. Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется
а) до 1 балла, если это предположение можно доказать;
б) до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;
в) 0 баллов, если оно противоречит условию.
6. Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.
Пусть M — точка пересечения медиан треугольника ABC. Проходящая через M прямая пересекает отрезки BC и CA в точках A1 и B1 соответственно. Точка K — середина стороны AB. Докажите, что 
Пусть прямые AB и A1B1 пересекаются в точке T, и пусть для определенности это произошло за точкой B. Поскольку точка пересечения медиан M делит медиану CK в отношении 2 : 1, высоты, опущенные из точек C и K на прямую A1B1, также относятся как 2 : 1. Тогда 
и
Поэтому нужно доказать неравенство 
После сокращения общей площади останется неравенство
или, что тоже самое, неравенство
Если увеличить основания треугольников AA1K и BB1K в два раза до отрезка AB, то площадь также увеличится в два раза, поэтому требуемое неравенство примет вид
Поскольку это треугольники с одинаковым основанием, достаточно проверить соответствующее неравенство для высот.
Пусть высоты, опущенные на прямую AB из точек A1, B1 и M, имеют основание 
и 
соответственно. Осталось доказать, что
Это неравенство из-за подобия треугольников 
и 
можно переписать в виде 
что верно, поскольку 
(иначе точка пересечения AB и A1B1 будет лежать за точкой A).
Общая схема:
0 баллов — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;
1 балл — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);
2 балла — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;
3 балла — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;
4 балла — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.
Факторы, влияющие на оценку.
1. Одна из основных целей Олимпиады — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.
2. Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.
3. Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.
4. Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.
5. Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется
а) до 1 балла, если это предположение можно доказать;
б) до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;
в) 0 баллов, если оно противоречит условию.
6. Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.
Дана трапеция ABCD. На основаниях BC и AD соответственно выбраны точки Q и S. Отрезки AQ и BS пересекаются в точке P, а отрезки CS и DQ пересекаются в точке R. Докажите, что 
Сначала докажем следующую лемму:
Пусть трапеция разбита диагоналями на 4 треугольника. Тогда площадь треугольника, имеющего в качестве стороны боковую сторону трапеции, не превосходит четверти площади трапеции.
Доказательство. Пусть диагонали трапеции KLMN пересекаются в точке O, a ее основания — отрезки KL и MN. Тогда
и
Следовательно,
Лемма доказана.
По лемме 
и 
Тогда
Приведем другое решение. Площади треугольников ABS и AQS равны, поскольку у них общее основание и равные высоты. Следовательно,
Стало быть, 
(обозначим их общее значение через s1). Аналогично, 
(обозначим их общее значение через s2). С другой стороны,
Следовательно,
Аналогично получаем, что 
Таким образом,
Общая схема:
0 баллов — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;
1 балл — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);
2 балла — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;
3 балла — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;
4 балла — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.
Факторы, влияющие на оценку.
1. Одна из основных целей Олимпиады — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.
2. Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.
3. Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.
4. Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.
5. Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется
а) до 1 балла, если это предположение можно доказать;
б) до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;
в) 0 баллов, если оно противоречит условию.
6. Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.
Окружность ω описана вокруг равнобедренного треугольника ABC. Продолжение высоты BB1, опущенной на боковую сторону AC, пересекает окружность ω в точке D. Из точки C опущены перпендикуляры CC1 на боковую сторону AB и CH на прямую AD. Докажите, что 
Пусть M — середина основания BC, а T — точка пересечения высот треугольника ABC. Из равнобедренности треугольника ABC отрезок AM является биссектрисой и высотой. Положим 
Тогда
Прямоугольные треугольники AMC и AHC равны, поскольку они имеют общую сторону и равные углы 
В частности, 
и точки M и H симметричны относительно прямой AC. Точки D и T также симметричны относительно прямой AC, поскольку прямоугольные треугольники AB1D и AB1T равны. Тогда треугольники DCH и TCM симметричны относительно прямой AC. Поэтому 
и
С другой стороны, четырехугольник CB1DH вписанный (у него два противоположных угла прямые), откуда
Наконец, четырехугольник BCB1C1 также вписанный (так как 
поэтому 
Стало быть, в четырехугольнике CC1B1H сумма трех углов
Следовательно, точка B1 лежит на отрезке HC1. Поэтому требуемое неравенство можно записать в виде
Значит, осталось понять, что 
Но треугольники CHB1 и CMB1 симметричны относительно прямой AC, поэтому их площади равны, и надо лишь показать, что 
Это уже очевидно, поскольку у этих треугольников одинаковые высоты, а основания отличаются в два раза.
Общая схема:
0 баллов — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;
1 балл — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);
2 балла — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;
3 балла — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;
4 балла — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.
Факторы, влияющие на оценку.
1. Одна из основных целей Олимпиады — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.
2. Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.
3. Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.
4. Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.
5. Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется
а) до 1 балла, если это предположение можно доказать;
б) до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;
в) 0 баллов, если оно противоречит условию.
6. Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.
Пусть h и l — высота и биссектриса, проведенные из одной вершины треугольника, r и R — радиусы его вписанной и описанной окружностей. Докажите, что 
Пусть СL — биссектриса
P — точка пересечения биссектрисы с описанной окружностью, I — центр вписанной окружности, О — центр описанной окружности.
1) Угловая величина дуги PB равна углу ACB, угловая величина дуги BC равна 
Тогда
как внешний угол для треугольника ALC. Но тогда 
2) Обозначим угол LCH за α. Тогда 
С другой стороны, из треугольника РКС находим
по неравенству Коши для среднего арифметического и среднего геометрического.
3) Рассмотрим отдельно произведение 
Точка D — основание перпендикуляра, опущенного из точки I на сторону ВС. Проведем диаметр BM, тогда треугольники СDI и ВРМ подобны. Поэтому 
Откуда 
4) В треугольнике BPI:
A угол 
является внешним для треугольника IBC, поэтому он равен
Таким образом, получается, что треугольник ВРI равнобедренный, а значит, что 
Но тогда 
5) Возвращаясь к пункту 2, имеем:
Что и требовалось доказать
| Баллы | |
|---|---|
| 25 | Обоснованно пройдена вся цепочка доказательств. |
| по 5 | В целом решение правильное, но имеются недостатки в обосновании. |
| 0 | Решение не соответствует ни одному из критериев. |
В треугольнике ABC длины сторон равны 4, 5 и 
Найдите площадь фигуры, состоящей из тех и только тех точек X внутри треугольника ABC, для которых выполняется условие 
Обозначим 
Пусть G — точка пересечения меди ан треугольника ABC. Представим
тогда
Поскольку G — центр тяжести треугольника ABC, то
и
Таким образом,
или
Итак, геометрическим местом точек X, удовлетворяющих поставленному условию, является круг радиуса
с центром в точке пересечения медиан треугольника ABC.
Этот круг принадлежит треугольнику, если его радиус не больше, чем одна треть наименьшей из высот треугольника ABC:
Значит, при выполнении условия
искомая площадь равна
По формуле Герона найдем площадь треугольника:
Вычислим
Поскольку 
условие (*) выполняется:
Значит, ответ:
Ответ: 
Приведем другое решение.
Высота треугольника, проведенная к стороне длины 4, равна 4. Основание высоты делит эту сторону на отрезки, равные 1 и 3. Введем систему координат так, как показано на рисунке. Тогда 
Тогда
Перепишем неравенство так:
Оно определяет круг радиуса 
с центром в точке 
Покажем, что все точки этого круга принадлежат треугольнику ABC. Для этого найдем расстояния от точки K до сторон треугольника. Уравнение стороны AB: 
расстояние до неё равно
Уравнение стороны BC: 
расстояние
И paccтояние от точки K до стороны AC равно, очевидно, 
Наименьшее из расстояний d2, тем не менее, больше, чем радиус круга R: 
Поэтому весь круг и является той фигурой, площадь которой требуется найти, откуда 
| Критерии оценивания | Балл |
|---|---|
| Верное решение без существенных недочетов | + |
| В целом задача решена, хотя и с недочетами | + − |
| Задача не решена, но есть заметное продвижение | − + |
| Задача не решена, заметных продвижений нет | − |
| Задача не решалась | 0 |
В треугольнике XYZ длины сторон равны 2, 7 и 
Найдите площадь фигуры, состоящей из тех и только тех точек A внутри треугольника XYZ, для которых выполняется условие 
Обозначим 
Пусть G — точка пересечения медиан треугольника XYZ. Представим
тогда
Поскольку G — центр тяжести треугольника XYZ, то 
и
Таким образом,
или
Итак, геометрическим местом точек A, удовлетворяющих поставленному условию, является круг радиуса
с центром в точке пересечения медиан треугольника XYZ.
Этот круг принадлежит треугольнику, если его радиус не больше, чем одна треть наименьшей из высот треугольника XYZ:
Значит, при выполнении условия
искомая площадь равна
По формуле Герона найдем площадь треугольника:
Вычислим
Поскольку 
условие (*) выполняется:
Значит, ответ: 
Ответ: 
Приведем другое решении.
Высота треугольника, проведенная к стороне длины 
равна 1. Основание высоты делит эту сторону на отрезки, равные 
и 
Введем систему координат так, как показано на рисунке. Тогда 
Значит,
Перепишем неравенство так:
Оно определяет круг радиуса 
с центром в точке 
Покажем, что все точки этого круга принадлежат треугольнику XYZ. Для этого найдем расстояния от точки K до сторон треугольника. Уравнение стороны XY: 
расстояние до нее равно
Уравнение стороны YZ: 
paccтоние
Paccтояние от точки K до стороны XZ, очевидно, является наименьшим из трех и равно 
Поэтому круг принадлежит треугольнику, отсюда искомая площадь равна 
| Критерии оценивания | Балл |
|---|---|
| Верное решение без существенных недочетов | + |
| В целом задача решена, хотя и с недочетами | + − |
| Задача не решена, но есть заметное продвижение | − + |
| Задача не решена, заметных продвижений нет | − |
| Задача не решалась | 0 |
Наверх