сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Дан рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник с углом  альфа при вер­ши­не.

а)  До­ка­жи­те, что

 дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: R конец дроби = синус альфа тан­генс дробь: чис­ли­тель: Пи минус альфа , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,

где r и R  — ра­ди­у­сы впи­сан­ной и опи­сан­ной окруж­но­стей со­от­вет­ствен­но.

б)  При каком  альфа от­но­ше­ние  дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: R конец дроби при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние?

в)  До­ка­жи­те, что в общем слу­чае от­но­ше­ние  дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: R конец дроби при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние для рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ков.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть a  — длина ос­но­ва­ния дан­но­го тре­уголь­ни­ка (см. рис.). По тео­ре­ме си­ну­сов R= дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: конец дроби 2 синус альфа , далее,

r= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби a тан­генс \varphi= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби a тан­генс дробь: чис­ли­тель: Пи минус альфа , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,

по­это­му  дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: R конец дроби = синус альфа тан­генс дробь: чис­ли­тель: Пи минус альфа }4\stackrel{\rm de f, зна­ме­на­тель: = конец дроби f левая круг­лая скоб­ка альфа пра­вая круг­лая скоб­ка ,  альфа при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0; Пи пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  Ис­сле­дуя най­ден­ную в преды­ду­щем пунк­те функ­цию f, по­лу­чим, что она при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние при  альфа = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

в)  Имеем: R= дробь: чис­ли­тель: abc, зна­ме­на­тель: 4S конец дроби , r= дробь: чис­ли­тель: 2S, зна­ме­на­тель: p конец дроби , здесь p=a плюс b плюс c  — пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка, так что

 дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: R конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 8S в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: abcp конец дроби = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка a плюс b минус c пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка b плюс c минус a пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка c плюс a минус b пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2abc конец дроби .

Далее,

 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка a плюс b минус c пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка b плюс c минус a пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a плюс b минус c пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка b плюс c минус a пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =b;

при­ме­няя ана­ло­гич­ные не­ра­вен­ства, по­лу­чим, что  дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: R конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , при­чем ра­вен­ство имеет место лишь в слу­чае, когда

a плюс b минус c=b плюс c минус a=c плюс a минус b,

т. е. при a=b=c.
Спрятать критерии
Критерии проверки:

За каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

Мак­си­мум за сюжет 12 бал­лов. При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.