РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1401 Добавить в вариант

Докажите, что для катетов b, a и гипотенузы прямоугольного треугольника выполняется неравенство $левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка c больше или равно 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ab.$

Спрятать решение

Решение.

Пусть $c= корень из: начало аргумента: a в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс b в квадрате правая круглая скобка ,$ тогда

$левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка корень из: начало аргумента: a в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс b в квадрате правая круглая скобка больше или равно 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента a b равносильно левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка a в квадрате плюс b в квадрате правая круглая скобка больше или равно 8 a в квадрате b в квадрате .$

Известно, что $a в квадрате плюс b в квадрате больше или равно 2 a b,$ значит.

$левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка a в квадрате плюс b в квадрате правая круглая скобка \geqslant левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка в квадрате умножить на 2 a b= левая круглая скобка a в квадрате плюс b в квадрате плюс 2 a b правая круглая скобка умножить на 2 a b \geqslant левая круглая скобка 2 a b плюс 2 a b правая круглая скобка умножить на 2 a b=8 a в квадрате b в квадрате .$ $левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка a в квадрате плюс b в квадрате правая круглая скобка \geqslant левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка в квадрате умножить на 2 a b=$
$= левая круглая скобка a в квадрате плюс b в квадрате плюс 2 a b правая круглая скобка умножить на 2 a b \geqslant левая круглая скобка 2 a b плюс 2 a b правая круглая скобка умножить на 2 a b=8 a в квадрате b в квадрате .$

Утверждение доказано.

Межрегиональная олимпиада школьников по математике САММАТ, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Неравенства, оценки, минимаксные задачи

Спрятать решение · Помощь