Дан ABC — равнобедренный прямоугольный треугольник. Прямая a перпендикулярна его оси симметрии. Треугольник MNK симметричен треугольнику ABC относительно a. Как расположить прямую a так, чтобы площадь пересечения названных треугольников была наибольшей?
Эта задача — частный случай следующей задачи: В данный треугольник поместите центрально симметричный многоугольник наибольшей площади.
Пусть O — центр симметрии многоугольника M, расположенного внутри треугольника T, S(T) — образ треугольника T при симметрии относительно точки O. Тогда M лежит и в T, и в S(T). Поэтому среди всех центрально симметричных многоугольников с данным центром симметрии, лежащих в T, наибольшую площадь имеет пересечение T и S(T). Точка O лежит внутри треугольника T, так как пересечением T и S(T) является выпуклый многоугольник, а выпуклый многоугольник всегда содержит свой центр симметрии.
Пусть A1, B1 и 
Предположим сначала, что точка O лежит внутри треугольника A1B1C1. Тогда пересечением T и S(T) является шестиугольник.
Пусть сторона AB делится сторонами треугольника S(T) в отношении 
где 
Тогда отношение суммы площадей заштрихованных треугольников к площади треугольника ABC равно 
нужно минимизировать это выражение. Так как
то
причем равенство достигается только при 
последнее равенство означает, что O — точка пересечения медиан треугольника ABC.
Рассмотрим теперь другой случай: точка O лежит внутри одного из треугольников AB1C1, A1BC1, A1B1C, например внутри AB1C1. В этом случае пересечением T и S(T) является параллелограмм, причем если мы заменим точку O точкой пересечения прямых AO и B1C1, то площадь этого параллелограмма может только увеличиться. если же точка O лежит на стороне B1C1, то этот случай уже фактически был нами рассмотрен (нужно положить 
Искомым многоугольником является шестиугольник с вершинами в точках, делящих стороны треугольника на три равные части. Его площадь равна 
площади треугольника.
Ответ: прямая a должна проходить через точку пересечения медиан треугольника ABC и (MNK).