В треугольнике XYZ длины сторон равны 2, 7 и 
Найдите площадь фигуры, состоящей из тех и только тех точек A внутри треугольника XYZ, для которых выполняется условие 
Решение. Обозначим 
Пусть G — точка пересечения медиан треугольника XYZ. Представим
тогда
Поскольку G — центр тяжести треугольника XYZ, то 
и
Таким образом,
или
Итак, геометрическим местом точек A, удовлетворяющих поставленному условию, является круг радиуса
с центром в точке пересечения медиан треугольника XYZ.
Этот круг принадлежит треугольнику, если его радиус не больше, чем одна треть наименьшей из высот треугольника XYZ:
Значит, при выполнении условия
искомая площадь равна
По формуле Герона найдем площадь треугольника:
Вычислим
Поскольку 
условие (*) выполняется:
Значит, ответ: 
Ответ: 
Приведем другое решении.
Высота треугольника, проведенная к стороне длины 
равна 1. Основание высоты делит эту сторону на отрезки, равные 
и 
Введем систему координат так, как показано на рисунке. Тогда 
Значит,
Перепишем неравенство так:
Оно определяет круг радиуса 
с центром в точке 
Покажем, что все точки этого круга принадлежат треугольнику XYZ. Для этого найдем расстояния от точки K до сторон треугольника. Уравнение стороны XY: 
расстояние до нее равно
Уравнение стороны YZ: 
paccтоние
Paccтояние от точки K до стороны XZ, очевидно, является наименьшим из трех и равно 
Поэтому круг принадлежит треугольнику, отсюда искомая площадь равна 
Критерии проверки:| Критерии оценивания | Балл |
|---|
| Верное решение без существенных недочетов | + |
| В целом задача решена, хотя и с недочетами | + − |
| Задача не решена, но есть заметное продвижение | − + |
| Задача не решена, заметных продвижений нет | − |
| Задача не решалась | 0 |
Ответ: 
