Пусть СL  — бис­сек­три­са P  — точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­три­сы с опи­сан­ной окруж­но­стью, I  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти, О  — центр опи­сан­ной окруж­но­сти.

1)  Уг­ло­вая ве­ли­чи­на дуги PB равна углу ACB, уг­ло­вая ве­ли­чи­на дуги BC равна Тогда

как внеш­ний угол для тре­уголь­ни­ка ALC. Но тогда

2)  Обо­зна­чим угол LCH за α. Тогда С дру­гой сто­ро­ны, из тре­уголь­ни­ка РКС на­хо­дим

по не­ра­вен­ству Коши для сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го и сред­не­го гео­мет­ри­че­ско­го.

3)  Рас­смот­рим от­дель­но про­из­ве­де­ние

Точка D  — ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го из точки I на сто­ро­ну ВС. Про­ве­дем диа­метр BM, тогда тре­уголь­ни­ки СDI и ВРМ по­доб­ны. По­это­му От­ку­да

4)  В тре­уголь­ни­ке BPI:

A угол яв­ля­ет­ся внеш­ним для тре­уголь­ни­ка IBC, по­это­му он равен

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ет­ся, что тре­уголь­ник ВРI рав­но­бед­рен­ный, а зна­чит, что Но тогда

5)  Воз­вра­ща­ясь к пунк­ту 2, имеем:

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать