РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2317 Добавить в вариант

Окружность ω описана вокруг равнобедренного треугольника ABC. Продолжение высоты BB₁, опущенной на боковую сторону AC, пересекает окружность ω в точке D. Из точки C опущены перпендикуляры CC₁ на боковую сторону AB и CH на прямую AD. Докажите, что $S_BCB_1C_1 больше или равно S_HCC_1.$

Спрятать решение

Решение.

Пусть M  — середина основания BC, а T  — точка пересечения высот треугольника ABC. Из равнобедренности треугольника ABC отрезок AM является биссектрисой и высотой. Положим $\angle B A C=2 альфа .$ Тогда

$\angle C A D=\angle C B D=\angle C B B_1=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle B C A= альфа .$

Прямоугольные треугольники AMC и AHC равны, поскольку они имеют общую сторону и равные углы $\angle C A M= альфа =\angle C A H.$ В частности, $C H=C M,$ и точки M и H симметричны относительно прямой AC. Точки D и T также симметричны относительно прямой AC, поскольку прямоугольные треугольники AB₁D и AB₁T равны. Тогда треугольники DCH и TCM симметричны относительно прямой AC. Поэтому $\angle D C H=\angle T C M$ и

$\angle H C C_1=\angle D C B=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle D A B=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 3 альфа .$

С другой стороны, четырехугольник CB₁DH вписанный (у него два противоположных угла прямые), откуда

$\angle C H B_1=\angle C D B_1=\angle B A C=2 альфа .$

Наконец, четырехугольник BCB₁C₁ также вписанный (так как $\angle B B_1 C=\angle C C_1 B=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка ,$ поэтому $\angle C C_1 B=\angle C B B_1= альфа .$ Стало быть, в четырехугольнике CC₁B₁H сумма трех углов

$\angle C C_1 B плюс \angle C H B_1 плюс \angle H C C_1= альфа плюс 2 альфа плюс левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 3 альфа правая круглая скобка =180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Следовательно, точка B₁ лежит на отрезке HC₁. Поэтому требуемое неравенство можно записать в виде

$S_\triangle C C_1 B_1 плюс S_\triangle C C_1 B=S_B C B_1 C_1 больше или равно S_\triangle H C C_1=S_\triangle H C C_1 B_1=S_\triangle C C_1 B_1 плюс S_\triangle C H B_1 .$ $S_\triangle C C_1 B_1 плюс S_\triangle C C_1 B=S_B C B_1 C_1 больше или равно S_\triangle H C C_1=$
$=S_\triangle H C C_1 B_1=S_\triangle C C_1 B_1 плюс S_\triangle C H B_1 .$

Значит, осталось понять, что $S_\triangle C C_1 B больше или равно S_\triangle C H B_1.$ Но треугольники CHB₁ и CMB₁ симметричны относительно прямой AC, поэтому их площади равны, и надо лишь показать, что $S_\triangle C C_1 B больше или равно S_\triangle C M B_1.$ Это уже очевидно, поскольку у этих треугольников одинаковые высоты, а основания отличаются в два раза.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Общая схема:

0 баллов  — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;

1 балл  — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);

2 балла  — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;

3 балла  — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;

4 балла  — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.

Факторы, влияющие на оценку.

1.  Одна из основных целей Олимпиады  — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.

2.  Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.

3.  Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.

4.  Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.

5.  Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется

а)  до 1 балла, если это предположение можно доказать;

б)  до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;

в)  0 баллов, если оно противоречит условию.

6.  Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.

Олимпиада СПБГУ, 8, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Неравенства, оценки, минимаксные задачи

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь